ARMA
En statistiques, les modèles ARMA, ou aussi modèle de Box-Jenkins, sont les principaux modèles de Séries temporelles.
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En statistiques, les modèles ARMA (modèles autorégressifs et moyenne mobile), ou aussi modèle de Box-Jenkins, sont les principaux modèles de Séries temporelles.
Étant donné une série temporelle Xt, le modèle ARMA est un outil pour comprendre et prédire, peut-être, les valeurs futures de cette série. Le modèle se compose de deux parties : une part autorégressive (AR) et une part moyenne-mobile (MA). Le modèle est le plus souvent noté ARMA (p, q), où p est l'ordre de la partie AR et q l'ordre de la partie MA.
Modèle autorégressif
La notation AR (p) réfère au modèle autorégressif d'ordre p. Le modèle AR (p) se note
où sont les paramètres du modèle, c est une constante et
un Bruit blanc. La constante est fréquemment omise dans la littérature.
Des contraintes supplémentaires sur les paramètres sont nécessaires pour garantir la stationnarité. A titre d'exemple, pour le modèle AR (1), les processus tels que |φ1| ≥ 1 ne sont pas stationnaires.
Exemple : un processus AR (1)
Un modèle AR (1) est donné par :
où est un bruit blanc, de moyenne nulle et de variance σ2. Le modèle est stationnaire en variance si
. Si
, alors le processus exhibe une racine unitaire, ce qui veut dire qu'elle est une Marche aléatoire, et n'est pas stationnaire en variance. Supposons par conséquent
, et en notant la moyenne μ, on obtient
Ainsi
En particulier, prendre c = 0 revient à avoir une moyenne nulle.
La variance vaut
La fonction d'autocovariance se donne par
On peut voir que la fonction d'autocovariance décroît avec un taux de .
La Densité spectrale de puissance est la Transformée de Fourier de la fonction d'autocovariance. Dans le cas discret, cela s'écrit :
Ce développement est périodique dû à la présence du terme en cosinus au dénominateur. En supposant que le temps d'échantillonnage (Δt = 1) est plus petit que le decay time (τ), alors on peut utiliser une approximation continue de Bn :
qui présente une forme lorentzienne pour la densité spectrale :
où γ = 1 / τ est la fréquence angulaire associée à τ.
Une expression alternative pour Xt peut être dérivée en substituant Xt − 1 par dans l'équation définissante. En continuant cette manipulation N fois apporte
Pour N devenant particulièrement grand, s'approche de 0 et :
On peut voir que Xt est le bruit blanc convolé avec le noyau plus une moyenne constante. Si le bruit blanc est gaussien, alors Xt est aussi un processus normal. Dans les autres cas, le Théorème de la limite centrale indique que Xt sera approximativement normal quand
est proche de l'unité.
Estimation des paramètres AR
Le modèle AR (p) est donné par
Les paramètres à estimer sont où i = 1, ..., p. Il y a une correspondance directe entre ces paramètres et la fonction de covariance (et par conséquent d'autocorrélation) et on peut tirer les paramètres en inversant ces relations. Ce sont les équations de Yule-Walker :
où m = 0, ..., p, ce qui donne en tout p + 1 équations. Les cœfficients γm est la fonction d'autocorrélation de X, est la déviation (écart-type) du bruit blanc et δm le Symbole de Kronecker.
La dernière partie de l'équation est non-nulle si m = 0; en prenant m > 0, l'équation précédente s'écrit comme un dispositif matriciel
Pour m = 0, nous avons
qui sert à trouver .
Les équations de Yule-Walker procurent un moyen d'estimer les paramètres du modèle AR (p), en remplaçant les covariances théoriques par des valeurs estimées. Une manière d'obtenir ces valeurs est de considérer la régression linéaire de Xt sur ses p premiers retards.
Obtention des équations de Yule-Walker
L'équation définissante du processus AR est
En multipliant les deux membres par Xt − m et en prenant l'espérance, on obtient
Or, il se trouve que E[XtXt − m] = γm par définition de la fonction d'autocorrélation. Les termes du bruit blancs sont indépendants les uns des autres et , qui plus est , Xt − m est indépendant de εt où m est plus grand que zéro. Pour m > 0, E[εtXt − m] = 0. Pour m = 0,
Maintenant, on a pour m ≥ 0,
D'autre part,
qui donne les équations de Yule-Walker :
pour m ≥ 0. Pour m < 0,
Modèle moyenne mobile
La notation MA (q) réfère au modèle moyenne-mobile d'ordre q :
où les θ1, ..., θq sont les paramètres du modèle et εt, εt-1, ... sont encore une fois des termes d'erreur.
Modèle autorégressif et moyenne-mobile
La notation ARMA (p, q) réfère le modèle avec p termes autoregressifs et q termes moyenne-mobile. Ce modèle contient à la fois les modèles AR (p) et MA (q) :
Une note sur les termes d'erreur
Les termes d'erreur εt sont le plus souvent supposés indépendamment et semblablement (i. i. d. ) distribués selon une Loi normale de moyenne nulle : εt ∼ N (0, σ2) où σ2 est la variance. Ces hypothèses peuvent être assouplies mais ceci changerait les propriétés du modèle, comme par exemple supposer le simple caractère iid.
Spécification en termes de l'opérateur de retard
Les modèles ARMA peuvent s'écrire en termes de L, qui est l'opérateur retard. Le modèle autorégressif AR (p) s'écrit
où φ représente le polynôme
Pour le modèle moyenne mobile MA (q), on a
où θ représente le polynôme
Finalement, en combinant les deux aspects, on en tire l'écriture du modèle ARMA (p, q) :
où plus court :
Modèle d'ajustement
Les modèles ARMA, une fois choisi les ordres p et q, peuvent être ajustés sur des données par la Méthode des moindres carrés : on recherche les paramètres qui minimisent la somme des carrés des résidus. Prendre des valeurs de p et q les plus petites est le plus souvent vu comme une bonne pratique (principe de parcimonie). Pour un modèle AR pur, les équations de Yule-Walker permettent de réaliser l'ajustement.
Voir aussi
Références
- George Box, Gwilym M. Jenkins, et Gregory C. Reinsel. Time Series Analysis : Forecasting and Control, third edition. Prentice-Hall, 1994.
- Mills, Terence C. Time Series Techniques for Economists. Cambridge University Press, 1990.
- Percival, Donald B. et Andrew T. Walden. Spectral Analysis for Physical Applications. Cambridge University Press, 1993.
- Pandit, Sudhakar M. et Wu, Shien-Ming. Time Series and System Analysis with Applications. John Wiley & Sons, Inc., 1983.
- James D. Hamilton, Time Series Analysis, Princeton University Press, 1994
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