Billard de Sinai

Le billard de Sinai est un système dynamique à deux degrés de liberté particulièrement simple à décrire, et qui présente des propriétés chaotiques intéressantes.



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Physique mathématique - Physique statistique - Statistiques

Le billard de Sinai est un système dynamique à deux degrés de liberté particulièrement simple à décrire, et qui présente des propriétés chaotiques intéressantes.

La table du billard de Sinaï est un carré de côté a au centre duquel a été positionné un obstacle circulaire de rayon R < a. La table est plate, sans courbure, et positionnée horizontalement dans le champ de pesanteur uniforme. Le référentiel du laboratoire étant supposé galiléen, un point matériel se déplaçant sans frottements sur ce billard est un dispositif conservatif qui effectue un mouvement rectiligne uniforme entre deux collisions avec les frontières. Quand le point matériel rencontre une frontière (le bord du carré, ou le bord de l'obstacle circulaire localisé au centre), il subit un choc élastique.

Origine du modèle

Le «gaz de sphères dures» est le dispositif princeps de la mécanique statistique, étudié dès les origines par les pères fondateurs Maxwell et Boltzmann. On considère N atomes, modélisés par des sphères dures impénétrables, confinés dans une enceinte, interagissants uniquement par collisions mutuelles ou avec les parois du récipient (interactions de contact). Pour un gaz macroscopique, le nombre N d'atomes est de l'ordre de grandeur du nombre d'Avogadro. Pour justifier les fondements de la mécanique statistique, Boltzmann avait introduit une «hypothèse ergodique» qui a longtemps semblé impossible à démontrer rigoureusement.

Le billard de Sinai émerge de l'étude de la dynamique du plus simple des gaz de «sphères dures» : le gaz composé uniquement de deux atomes évoluant dans une enceinte bidimensionnelle. Les deux «disques durs» (nous sommes en dimensions 2) évoluent à l'intérieur d'un domaine plan carré, les disques subissant chacun des collisions élastiques sur les bords du carré, mais aussi des collisions mutuelles. En éliminant les degrés de liberté du centre de masse, cette dynamique se réduit à celle du billard de Sinai. Ce modèle de deux particules en interaction par collisions est quelquefois nommé «gaz de Lorentz»

Propriétés du modèle

Le billard de Sinai est un prototype de système hamiltonien qui exhibe des propriétés chaotiques intéressantes : il est en effet ergodique. Il possède même un exposant de Lyapounov positif, signe du phénomène de sensibilité aux conditions initiales.

Sinai's great achievement with this model was to show that the classical Boltzmann-Gibbs ensemble for an ideal gas is essentially the maximally chaotic Hadamard billiards.

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Bibliographie

Notes

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