Brisure spontanée de symétrie

En physique, le terme brisure spontanée de symétrie renvoie au fait que, sous certaines conditions, certaines propriétés de la matière ne respectent pas les équations décrivant le mouvement des particules.



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  • Brisure spontanée de symétrie en transition de phase. Ferromagnétisme : la transition de phase... La brisure spontanée d'une symétrie interne donne au vide... (source : web.me)
  • Brisure spontanée de symétrie (2009). pour ensemble. [é]. Date de composition : 2009. Editeur : Inédit. Information sur la création. 14 mai 2009, ... (source : brahms.ircam)

En physique, le terme brisure spontanée de symétrie renvoie au fait que, sous certaines conditions, certaines propriétés de la matière ne respectent pas les équations décrivant le mouvement des particules. Cette notion joue un rôle important en physique des particules et en physique de la matière condensée.

Définition

À haute température (ou à haute énergie), la matière forme un gaz ou un plasma et cet état possède l'ensemble des symétries des équations décrivant le mouvement des particules. À basse température, la matière peut se trouver dans un état qui ne possède pas l'ensemble des symétries des équations microscopiques, mais uniquement un sous-groupe du groupe de symétrie complet. Ce phénomène est nommé brisure spontanée de symétrie. Un exemple concret d'état de la matière possédant une brisure spontanée de symétrie est l'état solide cristallin. Un cristal n'est en effet invariant que sous l'action d'un groupe de symétrie discret comprenant des translations discrètes, des réflexions et des rotations de 60°, 90°, 120°, 180° autour de plan ou d'axes spécifiques, tandis que l'équation de Schrödinger qui décrit le mouvement des électrons et des noyaux qui forment ce cristal est invariante sous n'importe quelle translation, rotation ou réflexion.

Il existe en physique de la matière condensée de nombreux autres exemples de brisures spontanées de symétries.

Exemples

Dans les dispositifs magnétiques (ferromagnétiques, antiferromagnétiques, ferrimagnétiques), la symétrie de rotation SO (3) des moments magnétiques et l'invariance par renversement du temps sont brisées spontanément.

Dans les cristaux liquides nématiques, l'invariance par rotation SO (3) est aussi en une symétrie de rotation autour d'un axe nommé directeur. Si \vec{n} est un vecteur unitaire parallèle à cet axe, la transformation de \vec{n} en -\vec{n} ne change bien entendu pas la direction de cet axe, et on peut par conséquent choisir indifféremment n ou n pour décrire le même état nématique. Cela forme une différence importante avec le magnétisme où le changement du signe de l'aimantation ne redonne pas l'état thermodynamique d'origine.

Dans les cristaux liquides smectiques A, les molécules s'organisent en couches scindées par une distance déterminées. Cependant, au sein des couches, les molécules n'ont pas d'ordre à longue distance. Dans cet exemple, la symétrie de translation est brisée seulement dans la direction perpendiculaire aux couches, et la symétrie de rotation est réduites aux rotations autour d'un axe orthogonal aux couches.

Dans les alliages métalliques cristallins, on peut observer des états ordonnés où l'un des atomes formant l'alliage occupe préférentiellement un site du réseau. Il en résulte un abaissement de la symétrie comparé à celle de l'état à haute température dans lequel le site pouvait être occupé par un atome de l'une ou l'autre espèce. Dans ce cas, la brisure de symétrie réduit un groupe de translation discret à un sous groupe, tandis que dans les exemples qui ont précédé la symétrie était brisée dans un groupe continu.

La symétrie brisée n'est pas forcément associée à des transformations géométriques. A titre d'exemple, dans les supraconducteurs et dans les superfluides, la symétrie brisée est une symétrie de jauge continue abelienne U (1). C'est aussi le cas des brisures de symétries étudiées en physique des hautes énergies qui correspondent à des brisures de symétries pour des groupes non abeliens.

Conséquences physiques des brisures de symétries

Quand une symétrie est brisée spontanément dans un dispositif physique, il existe un nouveau paramètre qui est invariant sous l'action du sous-groupe laissant invariant l'état à symétrie brisée mais pas sous l'action du groupe complet laissant invariantes les équations du mouvement microscopiques. Ce paramètre est nommé le paramètre d'ordre et il mesure l'importance de la brisure de symétrie. L'orbite de ce paramètre d'ordre, sous l'action du groupe complet de symétrie, donne la totalité des états, physiquement non équivalents, dans lesquels la symétrie est brisée. Pour donner un exemple concret, dans le cas du magnétisme, le paramètre d'ordre est le vecteur aimantation, et l'orbite du paramètre d'ordre sous l'action du groupe de symétrie est la sphère S2. L'existence d'un paramètre d'ordre est à la base de la théorie de Landau des transitions de phase. Dans un état à symétrie brisée, il existe des forces qui tendent à imposer une valeur uniforme du paramètre d'ordre dans tout le dispositif. Ce phénomène est nommé rigidité généralisée. L'exemple le plus banal est l'existence d'un module de cisaillement dans un solide en plus du module de compression. Dans le cas d'un supraconducteur, c'est l'existence d'une rigidité généralisée qui permet d'expliquer la circulation d'un courant sans dissipation. La rigidité généralisée du supraconducteur combinée à l'invariance de jauge électromagnétique est aussi responsable de l'effet Meissner, comme l'a discuté P. W. Anderson. En physique des particules, un phénomène analogue, le phénomène de Higgs, permet d'expliquer la formation d'une masse pour les particules de jauge[1].

La description des états d'un dispositif possédant une brisure de symétrie en termes d'un paramètre d'ordre permet aussi de classifier les défauts qui peuvent apparaitre dans un dispositif au moyen des méthodes de la topologie algébrique. En effet, un état où le paramètre d'ordre fluctue dans l'espace peut être décrit au moyen d'une application de \Bbb{R}ˆ3 dans l'espace quotient du paramètre d'ordre. A titre d'exemple, un état inhomogène d'un dispositif magnétique peut etre représenté comme une application de \Bbb{R}ˆ3 dans la sphère S2, et un état inhomogène d'un supraconducteur comme une application de \Bbb{R}ˆ3 dans la sphère S1. Il peut exister des défauts stables du paramètre d'ordre uniquement si l'application ne peut pas etre déformée continument en une application constante. De façon plus précise, la théorie de l'homotopie permet d'affirmer que si le groupe π0 est non trivial, les défauts de type paroi sont stables, si le groupe π1 est stable les défauts de type ligne sont stables, et si le groupe π2 est non-trivial, les défauts de type point sont stables. Surtout, comme \pi_2(Sˆ2)=\Bbb{Z}, un dispositif magnétique peut présenter des défauts de type point, mais comme π1 (S2) = 0, il ne peut pas posséder de défauts de type ligne. Dans le cas du supraconducteur, \pi_1(Sˆ1)=\Bbb{Z}, par conséquent les lignes sont des défauts topologiquement stables. Ces défauts correspondent bien bien entendu aux vortex. La théorie topologique permet aussi de prédire que ces vortex ont une charge quantifiée.

Théorème de Goldstone

Quand la symétrie brisée est une symétrie continue, il existe un théorème dû à J. Goldstone selon lequel il doit apparaître de nouvelles excitations à basse énergie. Le plus fréquemment, ces excitations sont des bosons. Dans le cas d'un solide, les phonons transverses (ondes de cisaillement) peuvent être reconnus comme les bosons de Goldstone résultant de la brisure de la symétrie continue de translation. Dans le cas du magnétisme, la brisure de symétrie de rotation entraîne la naissance de magnons à basse température. Dans le cas des superfluides, la brisure de la symétrie U (1) se traduit par la naissance d'un mode de phonon avec une densité superfluide proportionnelle à la densité superfluide. Dans le cas des supraconducteurs, P. W. Anderson a montré que l'interaction coulombienne à longue portée empêchait la naissance des modes de Goldstone à basse énergie.

Le théorème de Goldstone sert à construire des théories de basse énergie décrivant seulement les bosons de Goldstone. Ces théories effectives sont discutées par C. P. Burgess.

Théorème de Mermin-Wagner-Hohenberg-Coleman

En 1966, N. D. Mermin et H. Wagner ont établi un théorème montrant qu'une brisure spontanée d'une symétrie continue était impossible dans un dispositif bidimensionnel. Une démonstration de ce théorème, utilisant seulement l'inégalité de Bogoliubov peut être trouvée dans le livre de C. Itzykson et J. M. Drouffe. En 1967, P. C. Hohenberg a étendu ce théorème aux superfluides ainsi qu'aux supraconducteurs. Ce théorème a été reformulé par Sidney Coleman en 1973 dans le cadre de la théorie quantique des champs qui a montré que la théorie des champs hypothétique qui décrirait les bosons de Goldstone dans le cas d'une brisure spontanée de symétrie en dimension (1+1) ne pouvait pas satisfaire les axiomes de Wightman. Le théorème de Mermin-Wagner-Hohenberg-Coleman a comme conséquence que les modèles O (N) avec N > 1 en deux dimensions ne peuvent pas présenter d'ordre à longue distance.

Dans le cas N = 2, on a le modèle XY qui possède la transition de Berezinskii-Kosterlitz-Thouless, entre un désordre complet à haute température et un quasi-ordre à longue distance à basse température. Pour N\ge 3, le modèle O (N) est dans une phase désordonnée à toute température. Dans sa version théorie des champs, le théorème de Mermin-Wagner-Hohenberg-Coleman permet d'affirmer qu'une chaine de spins antiferromagnétique ne peut pas posséder un état de Néel même au zéro absolu.

Théorème d'Elitzur

Jusqu'ici, les symétries que nous avons discutées n'étaient que des symétries globales. On peut se demander si des symétries locales, comme les symétries de jauge peuvent être aussi brisées. Un théorème dû à S. Elitzur sert à répondre à cette question par la négative.

Références

  1. C. Itzykson et J. B. Zuber, Quantum Field Theory (McGrawHill)

Voir aussi

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