Copule

En statistiques, une copule est un objet mathématique venant de la théorie des probabilités. La copule sert à caractériser la dépendance entre les différentes coordonnées d'une variable aléatoire à valeurs dans sans se préoccuper de ses lois marginales.



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En statistiques, une copule est un objet mathématique venant de la théorie des probabilités. La copule sert à caractériser la dépendance entre les différentes coordonnées d'une variable aléatoire à valeurs dans \Rˆd sans se préoccuper de ses lois marginales.

Aspects probabilistes des copules

Une copule est une fonction de répartition, notée \mathcal{}C, définie sur \mathcal{}[0,1]ˆd dont les marges sont uniformes sur \mathcal{}[0,1]. Une caractérisation est tandis que \mathcal{}C(u_1,...,u_d)=0 si une des composantes \mathcal{}u_i est nulle, \mathcal{}C(1,..,u_i,1,..)=u_i, et \mathcal{}C est \mathcal{}d- croissante.

En dimension 2, \mathcal{}C(0,v)=C(u,0)=0 pour tout \mathcal{}u et \mathcal{}v, \mathcal{}C(u,1)=u et \mathcal{}C(1,v)=v, pour tout \mathcal{}u et \mathcal{}v, et enfin, la propriété de 2 croissante se traduit par \mathcal{}C(u_1,v_1)-C(u_1,v_2)-C(u_2,v_1)+C(u_2,v_2)\geq0.

L'interprétation de cette notion de croissance se fait en notant que si \mathcal{}(U,V) admet pour fonction de répartition \mathcal{}C, \mathcal{}\Pr(u_1<U<u_2,v_1<V<v_2)=C(u_1,v_1)-C(u_1,v_2)-C(u_2,v_1)+C(u_2,v_2)\geq0, la mesure \mathcal{}\Pr étant obligatoirement positive.

Le théorème de Sklar dit que si \mathcal{}C est une copule, et si \mathcal{}F_1,.._d sont des fonctions de répartition (univariées), alors \mathcal{}F(x_1,...,x_d)=C(F_1(x_1),.._d(x_d)) est une fonction de répartition de dimension \mathcal{}d, dont les marges sont exactement \mathcal{}F_1,.._d.

Et réciproquement, si \mathcal{}F est une fonction de répartition en dimension \mathcal{}d, il existe une copule \mathcal{}C telle que \mathcal{}F(x_1,...,x_d)=C(F_1(x_1),.._d(x_d)), où les \mathcal{}F_i sont les lois marginales de \mathcal{}F.

Si ces lois marginales sont toutes continues, la copule \mathcal{}C est alors unique, et donnée par la relation \mathcal{}C(u_1,...,u_d)=F(F_1ˆ{-1} (u_1),.._dˆ{-1} (u_d)). Dans ce cas, on pourra alors parler de la copule associée à un vecteur aléatoire \mathcal{}(X_1,...,X_d).

La copule d'un vecteur aléatoire un vecteur aléatoire \mathcal{}(X_1,...,X_d) est alors la fonction de répartition du vecteur aléatoire \mathcal{}(F_1(X_1),.._d(X_d)), qu'on notera quelquefois \mathcal{}(U_1,...,U_d).

Quelques copules classiques

Parmi les copules usuelles, la copule produit \mathcal{}\Pi(u_1,...,u_d)=u_1...u_d (on parlera aussi de copule indépendante). \mathcal{}(X_1,...,X_d) a des composantes indépendantes si et uniquement si \mathcal{}\Pi est une copule du vecteur \mathcal{}(X_1,...,X_d).

La copule comonotone, ou copule du minimum, est définie par \mathcal{}M(u_1,...,u_d)=min\{u_1,....,u_d\}. \mathcal{}M est une copule du vecteur \mathcal{}(X_1,...,X_d) si et uniquement s'il existe des transformations croissantes \mathcal{}g_{i,j} telles que \mathcal{}X_i=g_{i,j}(X_j). Cette copule correspond à la limite supérieur de Fréchet-Hœffding, au sens où pour toute copule \mathcal{}C, C(u_1,...,u_d)\leq M(u_1,...,u_d).

Une classe spécifiquement importante de copule est celle des copules Archimédiennes, définies par \mathcal{}C(u_1,...,u_d)=\phiˆ{-1}(\phi(u_1)+...+\phi(u_d)), où \mathcal{}\phi (appelé générateur de la copule Archimédienne) est au moins \mathcal{}d-2 fois continument dérivable, dont la dérivé \mathcal{}d-2 est décroissante convexe, et telle que \mathcal{}\phi(1)=0.

Ce générateur est unique à une constante (positive) multplicative près. Une sous classe assez large est obtenue quand \mathcal{}\phi est l'inverse d'une transformée de Laplace (et une interprétation factorielle est alors envisageable). Parmi les cas spécifiques,

Le générateur est alors l'inverse de la transformée de Laplace de la loi stable. Cette copule est l'unique copule Archimédienne vérifiant une propriété de max-stabilité, c'est-à-dire \mathcal{}C(uˆn_1,...,uˆn_d)=Cˆn(u_1,...,u_d), pour tout \mathcal{}n\geq 1,

Les copules elliptiques...

Aspects statistiques

D'un point de vue statistique, les copules apparaissent naturelles comme la distribution des rangs.

Les copules apparaissent dans les espaces métriques de probabilité ou en logique floue (fuzzy logic).

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