Distribution Gamma

En théorie des probabilités et en statistiques, une distribution Gamma, ou loi Gamma, est un type de loi de probabilité de variables aléatoires réelles positives.



Catégories :

Loi de probabilité - Statistiques

Page(s) en rapport avec ce sujet :

  • Y suit une loi Gamma de paramètres (\lambda, k) = (\frac{1}{2. La distribution gamma est une généralisation de la loi exponentielle. En effet, si la loi... (source : rfv.insa-lyon)
  • Figure 13 : Distribution de la loi Fisher Snédécor.... La fonction densité de probabilité gamma pour la distribution gamma est définie pour u>0 par. Les paramètres a et b sont nommés paramètre de forme et paramètre d'échelle... (source : bf.refer)
  • La distribution gamma est une fammille de distributions de probabilité continue avec les paramètres α (forme) et β (échelle). Si mode correspond à 0, LOI.... (source : wiki.services.openoffice)
Loi Gamma
Densité de probabilité / Fonction de masse
Fonction de densité de la loi Gamma
Fonction de répartition
Fonction de répartition de la loi Gamma>

Paramètres <img class=Support x \in [0,+  \infty[
Densité de probabilité (fonction de masse) xˆ{k-1} \frac{\exp\left(-x/\theta\right)}{\Gamma(k)\,\thetaˆk}
Fonction de répartition \frac{\gamma(k, x/\theta)}{\Gamma(k)}
Espérance k \theta\,
Médiane (centre) pas d'expression formelle
Mode (k-1) \theta\, pour k \geq 1\,
Variance k \thetaˆ2\,
Asymétrie (statistique) \frac{2}{\sqrt{k}}
Kurtosis
(non-normalisé)
\frac{6}{k}
Entropie k\theta+(1-k)\ln(\theta)+\ln(\Gamma(k))\,
+(1-k)\psi(k)\,
Fonction génératrice des moments (1 - \theta\,t)ˆ{-k} pour t < 1 / ?
Fonction caractéristique (1 - \theta\,i\,t)ˆ{-k}

En théorie des probabilités et en statistiques, une distribution Gamma, ou loi Gamma, est un type de loi de probabilité de variables aléatoires réelles positives. La famille des distributions Gamma inclut entre autres les lois exponentielles, les lois de sommes de variables aléatoires indépendantes suivant une même loi exponentielle, mais aussi la loi du χ². Elle permet par conséquent de modéliser une grande variété de phénomènes pour des grandeurs positives.


Une variable aléatoire X suit une loi Gamma de paramètres k et θ (strictement positifs), ce qu'on note aussi X \, \sim \Gamma(k, \theta), si sa fonction de densité de probabilité peut se mettre sous la forme :

f(x;k,\theta) = \frac{{xˆ{k  - 1}  eˆ{ - \frac{x}{\theta }} }}{{\Gamma \left( k  \right)  \theta ˆk  }}

Alternativement, la distribution gamma peut être paramétrée avec un paramètre de forme α = k et d'un paramètre d'échelle β = 1 / θ :

<img class=Propriétés

Somme

Si chaque Xi suit la loi Γ (ki, θ) pour i = 1,  2,  ...,  N, et si les variables aléatoires Xi sont indépendantes, alors :


\sum_{i=1}ˆN X_i
\sim
\Gamma  \left( \sum_{i=1}ˆN k_i, \theta \right) \,\!

Scaling

Pour tout t > 0, la variable tX est distribuée selon Γ (k,   (1/t) θ), du moment que θ est un paramètre d'échelle.

Lien avec les autres distributions

Contraintes sur les paramètres

  • Si X \sim {\Gamma}(k=1, \theta=1/\lambda)\,, alors X a une distribution exponentielle de paramètre λ.
  • Si X \sim {\Gamma}(k=\nu/2, \theta=2)\,, alors X est semblable à une variable χ2 (ν), la distribution de la loi du χ² avec ν degré de liberté.
  • Si k est un entier, la loi gamma est une distribution d'Erlang;
  • Si Xˆ2 \sim {\Gamma}(3/2, 2aˆ2)\,, alors X a une distribution de Maxwell-Boltzmann avec comme paramètre a.

Autres manipulations

  • Si X a une distribution Γ (k, θ), alors 1/X a une distribution loi gamma inverse, de paramètres k et θ-1.
  • Si X et Y sont distribuées indépendamment selon des lois Γ (α, θ) et Γ (β, θ) respectivement, alors X /  (X + Y) a une distribution beta de paramètres α et β.
  • SiXi sont distribuées selon des lois Γ (αi, θ) respectivement, alors le vecteur (X1 / S,  ...,  Xn / S), où S = X1 + ...  + Xn, suit une distribution de Dirichlet de paramètres α1,  ...,  αn.
  • Pour k grand, la distribution gamma converge vers une loi normale, de moyenne μ = (k − 1) θ et de variance σ2 = (k − 1) θ2.

Voir aussi

  • Fonction Gamma d'Euler


Recherche sur Amazon (livres) :



Ce texte est issu de l'encyclopédie Wikipedia. Vous pouvez consulter sa version originale dans cette encyclopédie à l'adresse http://fr.wikipedia.org/wiki/Distribution_Gamma.
Voir la liste des contributeurs.
La version présentée ici à été extraite depuis cette source le 07/04/2010.
Ce texte est disponible sous les termes de la licence de documentation libre GNU (GFDL).
La liste des définitions proposées en tête de page est une sélection parmi les résultats obtenus à l'aide de la commande "define:" de Google.
Cette page fait partie du projet Wikibis.
Accueil Recherche Aller au contenuDébut page
ContactContact ImprimerImprimer liens d'évitement et raccourcis clavierAccessibilité
Aller au menu