Droite de Henry

La droite de Henry est une méthode graphique pour ajuster une distribution gaussienne à celle d'une série d'observations.



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La droite de Henry est une méthode graphique pour ajuster une distribution gaussienne à celle d'une série d'observations (d'une variable numérique continue). En cas d'ajustement, elle sert à lire rapidement la moyenne et l'écart type d'une telle distribution.

Cette droite porte le nom du polytechnicien J. P. P. Henri (ou Henry) (1848 - 1907) qui l'a mise au point et en a enseigné l'utilisation à l'école d'artillerie dans les années 1880. Jules Haag, ensuite l'introduisit dans son cours à l'école d'artillerie de Fontainebleau[1].

Principe

Si X est une variable gaussienne de moyenne \overline{x} et de variance σ2 et si N est une variable de loi normale centrée réduite, on a les égalités suivantes :

P(X < x) = P\left(\frac{X-\overline{x}}{\sigma} < \frac{x-\overline
{x}}{\sigma}\right) = P(N < t) = \Phi(t), avec t = \frac{x-\overline{x}}{\sigma}

(on note Φ la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite).

Pour chaque valeur xi de la variable X, on peut (avec une table de la fonction Φ)  :

Si la variable est gaussienne, les points de coordonnées (xi ; ti) sont alignés sur la droite d'équation t = \frac{x-\overline{x}}{\sigma}. On compare par conséquent les valeurs des quantiles de la loi empirique (xi) au quantiles de la loi normale centrée réduite ti.

Cette méthode peut aussi se généraliser à d'autres distributions en comparant ici encore les quantiles théoriques au quantiles empiriques.

Exemple numérique

Lors d'un examen noté sur 20, on obtient les résultats suivants :

On cherche à déterminer si la distribution des notes est gaussienne, et , si oui, ce que valent son espérance et son écart type.

On connaît par conséquent 4 valeurs xi, et , pour ces 4 valeurs, on connaît P (X < xi).

En utilisant la table table de la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite, on détermine les ti correspondants :

xi P (X<xi) = Φ (ti) ti
4 0, 10 -1, 28
8 0, 30 -0, 525
12 0, 60 0, 255
16 0, 80 0, 84


Il suffit alors de tracer les points de coordonnées (xi ; ti).

Droite de Henry.png

Les points paraissent alignés ; la droite coupe l'axe des abscisses au point d'abscisse 11 et le cœfficient directeur est (0, 84 +1, 28) /12 à peu près, ce qui donnerait un écart type de 12/2, 12 = 5, 7.

Cela laisse penser que la distribution est gaussienne de paramètres m, σ2, où m = 11 et σ = 5, 7.

Papier gausso-arithmétique

Dans le principe décrit auparavant, il est indispensable de rechercher les ti correspondant à chaque P (xi), ce qui demande une lecture à l'envers de la table de la loi normale. Il est envisageable aussi de travailler sur un papier dont l'échelle en ordonnée utilise déjà cette conversion. En ordonnée, apparaissent deux graduations : à droite, une graduation arithmétique ainsi qu'à gauche les valeurs de Φ (t) correspondante. On place alors les points grâce à l'échelle de gauche.

Cette représentation graphique apporte particulièrement naturellement la moyenne qui correspond pour une loi normale à la médiane c'est-à-dire à l'abscisse du point d'ordonnée 50. Mais elle apporte aussi assez aisément l'écart type en utilisant les intervalles de confiance. Dans une distribution normale, de moyenne m et d'écart-type σ l'intervalle [m - σ ; m + σ] regroupe 68% de la population. Il y a par conséquent 16 % des valeurs inférieures à m - σ et 84 % des valeurs inférieures à m + σ. On lit par conséquent la valeur m - σ comme l'abscisse du point d'ordonnée 16 et la valeur m + σ comme celle du point d'ordonnée 84. L'écart entre ces deux abscisses sert à déterminer la valeur 2σ.

Ainsi, dans le graphique ci-dessous, la moyenne est d'environ 11 et l'écart-type est de (16, 7 - 5, 2) /2 soit à peu près 5, 7.


Utilisation d'un papier gausso-arithmétique pour tracer une droite de Henry

Annexes

Notes et références

  1. Michel Armatte, Robert Gibrat et la loi de l'effet proportionnel, dans Mathématiques et sciences humaine, tome 129 (1995), p 16

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