Ensemble grand-canonique

En physique statistique, l'ensemble grand-canonique est un ensemble statistique, dans lequel chaque dispositif est en équilibre avec un réservoir externe d'énergie et de particules.



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Physique statistique - Statistiques

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  • Ensemble grand - canonique. 25 octobre 2005. I - Syst`eme de particules semblables. La description grand-canonique s'applique aux syst`emes en équilibre avec... (source : lra.ens)

En physique statistique, l'ensemble grand-canonique est un ensemble statistique, dans lequel chaque dispositif est en équilibre avec un réservoir externe d'énergie et de particules. Cela veut dire que le dispositif peut échanger de l'énergie et des particules avec le réservoir, c'est à dire, l'énergie et le nombre de particules sont alors amenés à varier d'un dispositif à un autre de la totalité.

Cet ensemble est utilisé quand le nombre de particules ne peut pas être fixé, surtout pour les dispositifs composés de bosons et de fermions.

Introduction

Dans cet ensemble, on considère que le dispositif se compose de particules semblables[1], et on introduit le potentiel chimique, pour prendre en considération la variation du nombre de particules. Le réservoir doit être reconnu grand devant le dispositif, pour que les échange d'énergie et de particules n'influent pas[2] sur la température du réservoir, et par conséquent sur la température du dispositif. Le réservoir doit alors se comporter comme un thermostat et imposer sa température au dispositif.

On considère l'hamiltonien[3] du dispositif défini comme :

\hat H = \sum_{i=1}ˆ{N} \hat h(i)

\hat h(i) |i\rangle = E_i |i\rangle est l'équation de Schrödinger pour chaque particule i.

Pour chaque ensemble miscrocopique |n\rangle , on a alors l'énergie et le nombre de particules associés :

 E \left(|n\rangle\right) = \sum_i E_i n_i
 N \left(|n\rangle\right) = \sum_i n_i

Suivant que le dispositif reconnu se compose de bosons, ou de fermions, ni est soumis aux conditions suivantes :

n_i =\begin{cases} 0,...,\infty & \text{pour les bosons } \\ 0,1 & \text{pour les fermions} \end{cases}

Observable miscrocopique

Fonction de partition

La fonction de partition est définie comme étant :

 \Xi =  \sum_{\{|n_i\rangle\} } eˆ{ -\beta \big[ E \left(|n\rangle\right) - \mu N\left(|n\rangle\right)\big] } =  \sum_{ \{ |n_i \rangle \} } eˆ{ -\beta \sum_i \left(E_i - \mu \right)n_i }

{\{|n_i\rangle\} } représente la totalité statistique de l'ensemble des ensemble miscrocopique |n\rangle .

On peut[3] écrire Ξ comme :

\Xi = \big( \sum_{n_1} eˆ{ -\beta \left(E_1 - \mu \right)n_1 } \Big)  \big( \sum_{n_2} eˆ{ -\beta \left(E_2 - \mu \right)n_2 } \Big)... = \prod_i \Xi_i

avec \Xi_i = \big( \sum_{n_i} eˆ{ -\beta \left(E_i - \mu \right)n_i } \Big), qui représente la fonction de partition d'un seul mode.

Probabilité d'un micro-état

La probabilité pour que le dispositif soit dans un micro-état i est défini par :

p_i = \frac{eˆ { -\beta \left(E_i - \mu \right)n_i }} {\Xi}

 \sum_{i} p_i \ = \ 1

Observables macroscopique

Notes

  1. il est aussi envisageable de considérer un dispositif avec des particules différentes.
  2. la variation de température du réservoir doit être négligeable
  3. dans ce cas, il n'y a pas d'interactions entre les particules du dispositifs

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