Équation de Boltzmann

L'équation de Boltzmann est une équation intégro-différentielle de la théorie cinétique qui décrit l'évolution d'un gaz peu dense hors d'équilibre.



Catégories :

Physique statistique - Statistiques - Physique mathématique - Équation

Page(s) en rapport avec ce sujet :

  • Equation transport ; Equation intégrodifférentielle ; Equation Boltzmann ; Equation Fokker Planck ; Opérateur collision ; Théorie cinétique ; Dynamique gaz... (source : cat.inist)
  • Là dessus, on nous demande de résoudre l'équation de Boltzmann collisionnelle... avec des ions supposés immobiles et un gaz d'électrons.... (source : forums.futura-sciences)
  • D'autre part, l'équation de Boltzmann sert à retrouver, ... les capacités calorifiques des gaz polyatomiques. (source : ipnl.in2p3)

L'équation de Boltzmann (1872) est une équation intégro-différentielle de la théorie cinétique qui décrit l'évolution d'un gaz peu dense hors d'équilibre. Elle permet surtout de démontrer le théorème H, et d'étudier la relaxation du gaz d'un état d'équilibre local[1] vers l'équilibre global caractérisé par la distribution de Maxwell des vitesses.

Modèle mécanique du gaz

On considère un gaz de sphères dures constitué de N atomes semblables de masse m et de rayon r. Ces atomes :

Fonction de distribution à une particule

On note f(\mathbf{r}, \mathbf{u}, t) la fonction de distribution à une particule du gaz, telle que :


dN \ = \ f(\mathbf{r}, \mathbf{u}, t) \ dˆ3 \mathbf{r} \ dˆ3\mathbf{u}

représente le nombre de molécules de gaz localisées à l'instant t dans un petit volume d'espace dˆ3\mathbf{r} autour du point \mathbf{r} et ayant une vitesse \mathbf{u} définie à dˆ3\mathbf{u} près.

Équation de Boltzmann non-relativiste

Opérateur de Liouville non-relativiste

Soit un gaz positionné dans un champ de force externe macroscopique \mathbf{F}(\mathbf{r}, t) (par exemple, le champ de pesanteur local). L'opérateur de Liouville \hat{\mathbf{L}} décrivant la variation totale de la fonction de distribution à une particule f(\mathbf{r}, \mathbf{u}, t) dans l'espace des phases à une particule est l'opérateur linéaire défini en mécanique non-relativiste par :

\hat{\mathbf{L}}_\mathrm{NR}f \ = \ \frac{d f}{d t} \ = \ \frac{\partial f}{\partial t} \ + \ \mathbf{u}\cdot\nabla_\mathbf{r}f \ + \ \frac{\mathbf{F}}{m}\cdot\nabla_\mathbf{u}f

Équation de Boltzmann non-relativiste

Du fait des collisions, la fonction de distribution à une particule possède une variation totale non-nulle ; elle obéit à l'équation de Boltzmann :

\hat{\mathbf{L}}[f] \ = \ \mathbf{C}[f]

\mathbf{C} est l'opérateur de collision, opérateur intégral non-linéaire. Historiquement, Boltzmann a obtenu l'expression analytique de cet opérateur de collision par une analyse fine des collisions à deux corps. Il est aussi envisageable de dériver l'équation de Boltzmann par une troncature appropriée des équations de la hiérarchie BBGKY.

Théorème de Lanford

Limite de Boltzmann-Grad

La limite dite de Boltzmann-Grad consiste à prendre la limite conjointe :

en désormais le produit N \ rˆ2 \ = \ cte. Surtout, le volume exclu tend vers zéro dans cette limite : N \ rˆ3 \ \to \ 0

Théorème de Lanford (1973)

Lanford a démontré rigoureusement[2] qu'un gaz de sphères dures dilué dans \mathbb{R}ˆ3 obéit à l'équation de Boltzmann dans la limite de Boltzmann-Grad, au moins pour un temps particulièrement court, égal uniquement à un cinquième du temps de parcours moyen d'un atome[3].

En dépit de cette restriction sur la durée, ce théorème mathématique rigoureux est particulièrement important conceptuellement, puisque l'équation de Boltzmann entraine le théorème H, à propos duquel Boltzmann fut accusé de pratiquer des «mathématiques douteuses». Il n'en demeure pas moins qu'il reste à démontrer que ce résultat reste vrai pour des temps macroscopiques, mais aussi quand les atomes sont confinés dans une boite.

Équation de Boltzmann relativiste

L'opérateur de Liouville s'écrit en relativité générale :

\hat{\mathbf{L}}_\mathrm{GR} \ = \ \sum_\alpha pˆ\alpha\frac{\partial}{\partial xˆ\alpha} \ - \ \sum_{\alpha\beta\gamma}\Gammaˆ{\alpha}{}_{\beta\gamma}pˆ\alpha pˆ\gamma\frac{\partial}{\partial pˆ\alpha}

pα est la quadri-impulsion et les Γαβγ sont les symboles de Christoffel.

Limites hydrodynamiques

Sixième problème de Hilbert

«Le livre de M. Boltzmann sur les Principes de la Mécanique nous incite à établir ainsi qu'à discuter du point de vue mathématique d'une manière complète et rigoureuse les méthodes basées sur l'idée de passage à la limite, et qui de la conception atomique nous amènent aux lois du mouvement des continua. » David Hilbert (1900).

Dérivation des équations de Navier-Stokes

Il est envisageable de dériver les équations de Navier-Stokes à partir de l'équation de Boltzmann.

Bibliographie

Ouvrages de référence

Bibliothèque virtuelle

Cours

Articles

Notes

  1. Equilibre local pour lequel sont supposés bien définis un certain nombre de champs :
    • la densité de particule locale  \rho(\vec{r},t) du gaz
    • la température locale T(\vec{r},t) du gaz
    • la pression locale P(\vec{r},t) du gaz
  2. Oscar E Lanford III ; Time Evolution of Large Classical Systems, dans : Dynamical Systems, Theory and Application, J. Moser (éditeur), Springer-Verlag (1975). Lire aussi : Oscar E Lanford III ; On a derivation of the Boltzmann equation, dans : Nonequilibrium phenomena I : The Boltzmann equation, Joël L Lebowitz & Elliott W Montroll (éditeurs), North-Holland (1983), 3-17.
  3. Temps moyen entre deux collisions consécutives.

Recherche sur Amazon (livres) :



Ce texte est issu de l'encyclopédie Wikipedia. Vous pouvez consulter sa version originale dans cette encyclopédie à l'adresse http://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89quation_de_Boltzmann.
Voir la liste des contributeurs.
La version présentée ici à été extraite depuis cette source le 07/04/2010.
Ce texte est disponible sous les termes de la licence de documentation libre GNU (GFDL).
La liste des définitions proposées en tête de page est une sélection parmi les résultats obtenus à l'aide de la commande "define:" de Google.
Cette page fait partie du projet Wikibis.
Accueil Recherche Aller au contenuDébut page
ContactContact ImprimerImprimer liens d'évitement et raccourcis clavierAccessibilité
Aller au menu