Équation de Langevin

L'équation de Langevin est une équation stochastique pour le mouvement brownien.



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Processus stochastique - Physique statistique - Statistiques

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L'équation de Langevin (1908) est une équation stochastique pour le mouvement brownien.

Théorie de Langevin du mouvement brownien

Dans l'approche théorique de Langevin, une grosse particule brownienne de masse m, supposée animée à l'instant t d'une vitesse  \vec{v}(t) , est soumise à deux forces bien différentes :

Équation de Langevin

On applique le principe essentiel de la dynamique de Newton, ce qui conduit à l'équation stochastique de Langevin :


m \, \frac{d\vec{v}(t)}{dt} \ = \ - \, k \, \vec{v}(t) \ + \ \vec{\eta}(t)

Solution de Langevin (1908)

Réécriture de l'équation de Langevin

Prenons le produit scalaire de cette équation avec le vecteur position  \vec{r}(t) (en omettant la dépendance en temps pour simplifier les notations)  :


m \ \vec{r} \cdot \frac{dˆ2\vec{r}}{dtˆ2} \ = \ - \, k \ \vec{r} \cdot \frac{d\vec{r}}{dt} \ +
\ \vec{r} \cdot \vec{\eta}

Remarquons alors d'une part que :


\frac{ d || \vec{r}||ˆ2 }{ dt } \ = \ \frac{ d ( \vec{r} \cdot \vec{r} ) }{ dt } \ = \ 2 \ \vec{r} \cdot \frac{ d \vec{r} }{ dt }


\Longrightarrow \quad \vec{r} \cdot
\frac{d\vec{r}}{dt} \ = \ \frac{1}{2} \ \frac{d ||\vec{r}||ˆ2}{dt}

et d'autre part que :


\frac{ dˆ2 ||\vec{r}||ˆ2 }{ dtˆ2 } \ = \ \frac{d∼}{dt} \ \left[ \frac{ d ||\vec{r}||ˆ2}{dt} \right] \  = \ \frac{d∼}{dt} \ \left[ \, 2 \ \vec{r} \cdot \frac{d\vec{r}}{dt} \, \right] \ = \ 2 \, ||\vec{v}||ˆ2 \ + \ 2 \ \vec{r} \cdot \frac{dˆ2\vec{r}}{dtˆ2}


\Longrightarrow \quad \vec{r} \cdot \frac{dˆ2\vec{r}}{dtˆ2} \ = \ \frac{1}{2} \ \frac{dˆ2 ||\vec{r}||ˆ2}{dtˆ2} \ - \ ||\vec{v}||ˆ2

En substituant ces expressions dans le produit scalaire obtenu à partir de l'équation de Langevin, on obtient une nouvelle forme de l'équation différentielle :


m \ \frac{dˆ2 ||\vec{r}||ˆ2}{dtˆ2} \ = \ - \, k \ \frac{d ||\vec{r}||ˆ2}{dt} \ + \ 2 \, m \ ||\vec{v}||ˆ2 \ + \ 2 \, \vec{r} \cdot \vec{\eta}

Moyenne sur le bruit blanc gaussien

On prend alors la moyenne de l'équation précédente sur l'ensemble des réalisations envisageables du bruit blanc gaussien. Il vient :


m \ \langle \ \frac{dˆ2 ||\vec{r}||ˆ2}{dtˆ2} \ \rangle \ = \ - \, k \ \langle \ \frac{d ||\vec{r}||ˆ2}{dt} \ \rangle \ + \ 2 \, m \ \langle \ ||\vec{v}||ˆ2 \ \rangle \ + \ 2 \, \langle \ \vec{r} \cdot \vec{\eta} \ \rangle

On fait l'hypothèse avec Langevin que la valeur moyenne du terme de bruit est nulle[2] :


\langle \ \vec{r} \cdot \vec{\eta} \ \rangle \ = \ 0

D'autre part, le processus de moyenne sur le bruit commute avec la dérivation temporelle :


\langle \ \frac{d ||\vec{r}||ˆ2}{dt} \ \rangle \ = \ \frac{d∼}{dt} \ \langle \ ||\vec{r}||ˆ2 \ \rangle  \quad \mathrm{et} \quad \langle \ \frac{dˆ2 ||\vec{r}||ˆ2}{dtˆ2} \ \rangle \ = \ \frac{dˆ2∼}{dtˆ2} \ \langle \ ||\vec{r}||ˆ2\ \rangle

ce qui conduit à l'équation différentielle pour les moyennes :


m \ \frac{dˆ2∼}{dtˆ2} \ \langle \ ||\vec{r}||ˆ2\ \rangle \ = \ - \, k \ \frac{d∼}{dt} \ \langle \ ||\vec{r}||ˆ2 \ \rangle \ + \ 2 \, m \ \langle \ ||\vec{v}||ˆ2 \ \rangle

On pose alors :


u(t) \ = \ \frac{1}{2} \ \frac{d∼}{dt} \ \langle \ ||\vec{r}(t)||ˆ2 \ \rangle

de telle sorte que l'équation différentielle se réécrive sous la forme simple :


m \ \frac{du(t)}{dt} \ = \ - \, k  \ u(t) \ + \ m \ \langle \ || \vec{v} ||ˆ2 \ \rangle

Équipartition de l'énergie

On obtient une estimation du dernier terme de vitesse quadratique moyenne en utilisant le théorème d'équipartition de l'énergie de la physique statistique classique[3]. Pour le mouvement d'une particule dans un espace à d dimensions, on obtient :


\frac{1}{2} \ m \ \langle \ ||\vec{v}||ˆ2 \ \rangle \ =
\ \frac{d}{2} \ k_B \ T

kB est la constante de Boltzmann, et T la température absolue en kelvins. L'énergie thermique moyenne kBT par particule peut se réécrire :


k_B \ T \ = \ \frac{R \, T}{\mathcal{N}_A}

R est la constante des gaz parfaits, et  \mathcal{N}_A le nombre d'Avogadro. L'équation différentielle se met par conséquent finalement sous la forme :


m \ \frac{du(t)}{dt} \ + \ k \ u(t) \ = \ \frac{d \, RT}{\mathcal{N}_A}

Cette équation différentielle linéaire du premier ordre à cœfficients constants avec second membre admet la solution exacte :


u(t) \ = \ \frac{ d \, RT}{k \, \mathcal{N}_A}  \ + \ \lambda \ \mathrm{e}ˆ{ - \, t / \tau}

λ est une constante, et τ le temps caractéristique de relaxation, qui vaut :


\tau \ = \ \frac{m}{k} \ = \ \frac{m}{6 \pi \eta a} \ \simeq 10-8 secondes

dans les conditions d'observations expérimentales usuelles du mouvement brownien.

Cœfficient de diffusion d'Einstein

Dans les conditions expérimentales usuelles, on est toujours dans le régime où :  t \gg \tau , et on observe alors :


u(t) \ \sim \ \frac{d \, RT}{k \, \mathcal{N}_A} \ = \ \frac{d \, RT}{6 \pi \eta a \, \mathcal{N}_A}

Compte-tenu de la définition de u (t) , on a :


u(t) \ = \ \frac{1}{2} \ \frac{d∼}{dt} \ \langle \ || \vec{r}(t) ||ˆ2 \ \rangle
\ \sim \ \frac{d \, RT}{6 \pi \eta a \, \mathcal{N}_A}

ce qui donne par intégration comparé au temps t la loi de la diffusion classique :


\langle \ ||\vec{r}(t)||ˆ2 \ \rangle \ \sim \ \frac{2d \, RT}{6 \pi \eta a \, \mathcal{N}_A} \ t \ = \ 2d \ D \ t

où le cœfficient de diffusion D s'écrit explicitement :


D \ = \ \frac{RT}{6 \pi \eta a \, \mathcal{N}_A}

On retrouve bien le résultat d'Einstein (1905).

Solution moderne

Cf. l'article de Bertrand Duplantier, paragraphe 1.5.3, p. 177.

Bibliographie

Notes et références

  1. En termes modernes, un bruit blanc gaussien est un processus stochastique de moyenne nulle :
    
\langle \, \vec{\eta}(t) \, \rangle \ = \ \vec{0}
    et complètement décorrélé dans le temps ; sa fonction de corrélation à deux points vaut en effet :
    
\langle \, \eta_i(t_1) \ \eta_j(t_2) \, \rangle \ = \ \Gamma \ \delta_{ij} \ \delta(t_1-t_2)
    Dans cette formule, Γ est une constante positive, δij le symbole de Kronecker, et δ (t) la distribution de Dirac, qui est semblablement nulle quand  t_1 \ne t_2 Dans ces deux formules, la moyenne est prise sur toutes les réalisations envisageables du bruit blanc gaussien.
  2. Langevin écrit :

    «La valeur moyenne du terme  \vec{r} \cdot \vec{\eta} est évidemment nulle à cause des irrégularités des actions complémentaires  \vec{\eta}

    Ce n'est en réalité pas si évident que cela ; lire par exemple l'article de Bertrand Duplantier, page 176, note 52. Cet auteur donne légèrement plus loin dans le même article la dérivation moderne de la solution de l'équation stochastique de Langevin (paragraphe 1.5.3, p. 177).
  3. Le théorème d'équipartition de l'énergie de la mécanique statistique classique dit que la valeur moyenne de l'énergie associée à un degré de liberté \emph{quadratique} d'un dispositif mécanique en équilibre thermique avec un thermostat à la température T est égale à kBT / 2. Pour une particule ponctuelle qui n'est soumise à aucune force dans un espace à d dimensions, il y a précisément d degrés de liberté \emph{quadratiques}, qui correspondent aux d contributions à l'énergie cinétique :  mv_1ˆ2/2, \, mv_2ˆ2/2, \, \dots, mv_dˆ2/ 2
, d'où le résultat utilisé ici.

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