Équation maîtresse

En physique, une équation maîtresse est une équation différentielle décrivant l'évolution temporelle d'un dispositif. C'est une équation de taux pour les états du dispositif.



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Processus stochastique - Physique statistique - Statistiques - Équation différentielle

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En physique, une équation maîtresse est une équation différentielle décrivant l'évolution temporelle d'un dispositif. C'est une équation de taux pour les états du dispositif.

L'évolution de la probabilité Pk d'être dans l'état discret k suit une équation du type :

 \frac{dP_k}{dt}=\sum_\ell \Gamma_{k\ell}P_\ell,

La matrice  \Gamma_{\ell k} est quelquefois nommée matrice des taux de transitions.

Cette équation se retrouve en mathématique lors des traitements probabilistes des chaînes de Markov.

Comme la probabilité totale se conserve \sum_{\ell} \Gamma_{\ell k} = 0

et l'équation maîtresse peut par conséquent se réécrire

 \frac{dP_k}{dt}=\sum_\ell(\Gamma_{k\ell} P_\ell - \Gamma_{\ell k}P_k).

Cette forme permet directement de voir les taux de départ  \Gamma_{\ell k} de l'état k et les taux d'arrivée  \Gamma_{k \ell} vers cet état.

Une généralisation de cette équation est l'équation de Fokker-Planck pour l'évolution d'un nombre illimité d'état k.

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