Expérience de Fermi-Pasta-Ulam

Réalisée en 1953, l'expérience de Fermi-Pasta-Ulam fut la première simulation numérique, c'est-à-dire une «expérience virtuelle» entièrement réalisée sur ordinateur.

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Réalisée en 1953, l'expérience de Fermi-Pasta-Ulam (FPU) fut la première simulation numérique, c'est-à-dire une «expérience virtuelle» entièrement réalisée sur ordinateur. Cette expérience consiste à étudier la répartition à long terme de l'énergie d'un dispositif dynamique unidimensionnel de 64 masses couplées entre elles par des ressorts harmoniques perturbés par une faible anharmonicité, sachant qu'un seul mode du dispositif est originellement excité.

À cette époque, on pensait que l'hypothèse ergodique de Boltzmann s'appliquait à l'ensemble des dispositifs dynamiques non-intégrables. Or, si le problème purement harmonique est intégrable, le problème perturbé ne l'est plus. Les trois auteurs de cette simulation s'attendaient par conséquent à observer une «thermalisation approchée» du dispositif perturbé par la faible anharmonicité, l'énergie se répartissant de façon approximativement égale sur les différents modes. Le résultat fut particulièrement étonnant : la thermalisation n'a pas lieu, la dynamique réelle du dispositif perturbé étant quasi-périodique !

Depuis lors, le théorème KAM nous a appris que la perturbation d'un dispositif intégrable ne conduisait pas obligatoirement à un dispositif ergodique, mais que des tores invariants pouvaient subsister dans des régions de mesures finies de l'espace des phases, correspondant à des îlots où la dynamique du dispositif perturbé reste quasi-périodique.

Les équations FPU

Si on note $x i$ ( $i = 1, \dots, N = 64$ ) le déplacement de la i-ème masse comparé à sa position d'équilibre, les dispositifs d'équations différentielles couplées étudiés numériquement par FPU sont les suivants :

anharmonicité quadratique,

$\ddot{x}_i \ = \ \left( x_{i+1} \ + \ x_{i-1} \ - \ 2 \, x_i \right) \ + \ \alpha \ \left[ \ \left( x_{i+1} \ - \ x_i \right)ˆ2 \ - \ \left( x_i \ - \ x_{i-1} \right)ˆ2 \ \right]$ ,

où $α$ est un petit paramètre ;

anharmonicité cubique,

$\ddot{x}_i \ = \ \left( x_{i+1} \ + \ x_{i-1} \ - \ 2 \, x_i \right) \ + \ \beta \ \left[ \ \left( x_{i+1} \ - \ x_i \right)ˆ3 \ - \ \left( x_i \ - \ x_{i-1} \right)ˆ3 \ \right]$ ,

où $β$ est un petit paramètre.

Liens

Théorie du chaos
Théorie ergodique
Théorème KAM
Équation de Korteweg-de Vries
Soliton

Bibliographie

E. Fermi, J. Pasta, S. Ulam ; Studies of Nonlinear Problems, Document Los Alamos 1940 (May 1955). [pdf] [1].

G. P. Berman & F. M. Izrailev ; The Fermi-Pasta-Ulam problem : 50 years of progress, Chaos 15 (2005) 015104. ArXiv : nlin. CD/0411062.

Thierry Dauxois, Michel Peyrard, Stefano Ruffo ; The Fermi-Pasta-Ulam "numerical experiment" : history and pedagogical perspectives, European Journal of Physics 26 (2005), S3-S11. ArXiv : nlin/0501053.

Thierry Dauxois ; Fermi, Pasta, Ulam and a mysterious lady, Physics Today 61 (1) (2008), 55-57. ArXiv : physics/0801.1590.

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