Fonction de Pearson

Les fonctions de Pearson ont été crées pour représenter des distributions unimodales. Il en existe douze. Elles ont été découvertes par Karl Pearson à la fin du XIXe siècle et au début du XXe siècle.



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Fonction remarquable - Loi de probabilité - Statistiques

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Les fonctions de Pearson ont été crées pour représenter des distributions unimodales. Il en existe douze. Elles ont été découvertes par Karl Pearson à la fin du XIXe siècle et au début du XXe siècle.

Pearson IV

La densité de probabilité ƒ, pour x réel, vaut :

 f(x) = k \cdot \left [ 1 + \left ( \frac{x - \lambda}{a}\right )ˆ2 \right ]ˆ{-m} \cdot \exp \left [ - \nu \cdot \tanˆ{-1} \left ( \frac{x - \lambda}{a}\right ) \right ]

La fonction est invariante si on change simultanément le signe de a et de ν, on prend par conséquent par convention

a > 0.

Si m ≤ 1/2, la fonction n'est pas normalisable.

La fonction de Pearson IV est en fait une version asymétrique de la loi de Student ; de fait, on retrouve la loi de Student avec 2m-1 degrés de liberté pour ν = 0.

Pour m = 1, la distribution de Pearson IV est une forme asymétrique de la distribution de Cauchy (ou distribution de Breit-Wigner).

La fonction a un mode (sommet) unique positionné en

x_m = \lambda - \frac{a \nu}{2 m}

elle présente deux points d'inflexion localisés en

x_{i+/-} = x_m \pm \frac{a}{2 m} \sqrt{\frac{4mˆ2 + \nuˆ2}{2m+1}}.

Sa moyenne vaut

\langle x \rangle = \lambda - \frac{a \nu}{r} pour m > 1

en posant

r = 2 (m - 1).

La moyenne est illimitée si ν = 0 et m ≤ 1.

Sa variance vaut

\mu_2 = \frac{aˆ2}{rˆ2(r-1)}(rˆ2 + \nuˆ2) pour m > 3/2.

La variance est illimitée si m ≤ 3/2.

Le facteur de normalisation vaut :

k = \frac{2ˆ{2m-2} | \Gamma (m + i \nu /2) |ˆ2}{\pi a \Gamma (r)}

où Γ est la fonction Gamma d'Euler.

Pearson VII

La VIIe fonction de Pearson est définie, pour x entier, par

f = \frac{1}{\left [ 1+ \left (\frac{2(x-x_0) \cdot \sqrt{2ˆ{1/M}-1}}{w} \right )ˆ2 \right ]ˆM}

M est le paramètre de forme, ou «largeur de Pearson».

On écrit quelquefois une expression simplifiée :

f = \left [ 1 + Kˆ2 \frac{(x-x_0)ˆ2}{M} \right ]ˆ{-M}

On a

Elle est utiilsée en radiocristallographie pour modéliser le profil des pics de diffraction (voir aussi Fonction de Voigt).

Voir aussi

Bibliographie

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