Fonction de répartition empirique

En Statistiques, une fonction de répartition empirique est une fonction de répartition qui attribue la probabilité 1/ n à chacun des n nombres dans un échantillon.



Catégories :

Statistiques

En Statistiques, une fonction de répartition empirique est une fonction de répartition qui attribue la probabilité 1/n à chacun des n nombres dans un échantillon.

Soit X_1,\ldots,X_n un échantillon de variables iid à valeurs dans \mathbb{R} avec pour fonction de répartition F (x).

La fonction de distribution empirique Fn (x) basée sur l'échantillon  X_1,\ldots,X_n est une fonction en escalier définie par

F_n(x) = \frac{ \mathrm{nombre∼d'\acute el \acute ements∼ dans∼ l'\acute echantillon} \leq x}{n} = 
\frac{1}{n} \sum_{i=1}ˆn I(X_i \le x),

I (A) est la fonction indicatrice de l'événement A.

Pour un x fixé, la variable I(X_i\leq x) est une variable aléatoire de Bernoulli, de paramètre p = F (x). Donc, la variable nFn (x) est distribuée selon une loi binomiale, avec pour moyenne nF (x) et pour variance nF (x) (1 − F (x) ).

Propriétés asymptotiques

F_n(x)\to F(x) presque sûrement pour un x fixé.
En d'autres termes, Fn (x) est un estimateur non-biaisé de la fonction de répartition F (x) .
\sqrt{n}(F_n(x)-F(x))

converge en loi vers une loi normale N (0,  F (x) (1 - F (x) ) ) pour un x fixé.

Le théorème de Berry–Esseen   (en) procure le taux de convergence.
\|F_n(x)-F(x)\|_\infty\to 0 with probability 1.
L'inégalité de Dvoretzky-Kiefer-Wolfowitz   (en) procure le taux de convergence.
\sqrt{n}\|F_n(x)-F(x)\|_\infty converge en distribution vers la distribution de Kolmogorov, à condition que F (x) est continu.
Le test de Kolmogorov-Smirnov de goodness-of-fit est basé sur ce fait.
\sqrt{n}(F_n-F), comme processus indexé par x, converge faiblement dans \ellˆ\infty(\mathbb{R}) vers un pont brownien B (F (x) ).

Recherche sur Amazon (livres) :



Ce texte est issu de l'encyclopédie Wikipedia. Vous pouvez consulter sa version originale dans cette encyclopédie à l'adresse http://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_de_r%C3%A9partition_empirique.
Voir la liste des contributeurs.
La version présentée ici à été extraite depuis cette source le 07/04/2010.
Ce texte est disponible sous les termes de la licence de documentation libre GNU (GFDL).
La liste des définitions proposées en tête de page est une sélection parmi les résultats obtenus à l'aide de la commande "define:" de Google.
Cette page fait partie du projet Wikibis.
Accueil Recherche Aller au contenuDébut page
ContactContact ImprimerImprimer liens d'évitement et raccourcis clavierAccessibilité
Aller au menu