Fonction génératrice
En mathématiques, la fonction génératrice de la suite est la série formelle définie par
Page(s) en rapport avec ce sujet :
- à l'introduction de la notion de fonction génératrice de X :... c'est-à-dire que la fonction génératrice d'une somme est le produit des fonctions... (source : les.mathematiques.free)
- ... Utilisation des fonctions caractéristiques Fonction génératrice d'une... Exemples : détection imparfaite, fonction caractéristique d'un couple à ... (source : unit)
- : Deux fonction génératrices ou (série génératrices) ordinaires ou exponentielles sont identiques si et uniquement si an=bn n≥0... (source : brassens.upmf-grenoble)
En mathématiques
En mathématiques, la fonction génératrice de la suite (an) est la série formelle définie par
On confond quelquefois la fonction génératrice et une fonction de la variable x. Cependant, il est utile de préciser qu'une fonction génératrice est avant tout une série formelle et que la fonction de la variable x correspondante risque de ne pas converger pour tout x.
- fonction génératrice de la suite constante 1 :
- fonction génératrice de la suite (n) :
- fonction génératrice de la suite (n2) :
- fonction génératrice de la suite
:
On parle aussi de fonction génératrice exponentielle de la suite (an) définie par la série formelle .
Quand on travaille plutôt avec l'inverse de X, la variable z=1/X, on parle alors de la transformée en Z, , qui est énormément utilisée en traitement du signal et en asservissements.
On peut retrouver la suite d'origine (an) à partir de la fonction génératrice F (X) (resp. la fonction génératrice exponentielle E (X) ) selon les formules
En probabilité
Définition
Soit X une variable aléatoire entière et positive, la fonction génératrice de X est la série entière :

où est la probabilité que la variable aléatoire X prenne la valeur k.
Fonctions génératrices de lois usuelles
- Pour la loi de Poisson de paramètre λ, on a et il vient

- Pour la loi binomiale de paramètres (n, p), on a et on en déduit
Propriétés
- Le rayon de convergence de cette série entière est toujours supérieur ou égal à 1.
- On peut remarquer que
![G_X(t)=\mathbb{E}[tˆ{ X}].](illustrations/14aeaa311e40a90772229b7abcfcad58.png)
- Si X admet une espérance alors et sa dérivée sont définies en t=1 et on a :
![\mathbb{E}[X]= \frac{dG_X}{dt} (t=1).](illustrations/ad7fd596c1438e12a8c391fabb60cbbd.png)
- Si X admet une variance, et par conséquent une espérance alors et ses dérivées première et seconde sont définies en t=1 et on a :
![Var[X]=\frac{dˆ2 G_X}{dtˆ2} (t=1) + \frac {dG_X} {dt} (t=1) - \left(\frac{dG_X}{dt} (t=1)\right)ˆ2.](illustrations/2d2294013bf0d386450a2f3b85073e52.png)
- Si deux variables aléatoires réelles discrètes à valeurs dans admettent la même fonction génératrice, alors elles ont la même loi de probabilité[1].
- Soient X et Y deux variables aléatoires réelles discrètes entières et positives. Si X et Y sont indépendantes alors on a :

- Remarque : La réciproque est fausse.
- Si X1, X2, ..., Xn est une suite de variables aléatoires indépendantes, et si

- où les ai sont des constantes, alors

- A titre d'exemple, si les Xi ont de plus même loi (et par conséquent même fonction génératrice G), alors

- a pour fonction génératrice :

Composition des fonctions génératrices
La propriété suivante est spécifiquement utile à l'étude des processus de Galton-Watson.
Théorème — Soit une suite de variables aléatoires de même loi et une variable aléatoire, toutes à valeurs dans
- On pose

- On suppose que la suite est constituée de variables aléatoires indépendantes.
Alors :

Notons que, si et si

alors

Donc,
![\begin{align}
G_{S_N}(z) &= \mathbb{E}\left[zˆ{S_N}\right]\\
&= \mathbb{E}\left[zˆ{\sum_{n\ge 0}\ S_n\ 1\!\!1_{\{N= n\}}}\right]\\
&= \mathbb{E}\left[\sum_{n\ge 0}\ zˆ{S_n}\ 1\!\!1_{\{N= n\}}\right]\\
&= \sum_{n\ge 0}\ \mathbb{E}\left[zˆ{S_n}\ 1\!\!1_{\{N= n\}}\right]\\
&= \sum_{n\ge 0}\ \mathbb{E}\left[zˆ{S_n}\right]\times\mathbb{E}\left[1\!\!1_{\{N= n\}}\right]\\
&= \sum_{n\ge 0}\ G_{S_n}(z)\times\mathbb{P}\left(N= n\right)\\
&= \sum_{n\ge 0}\ \mathbb{P}\left(N= n\right)\times \left(G_{X}(z)\right)ˆn\\
&= G_N\left(G_X(z)\right).
\end{align}](illustrations/60757162c6922e00c25c1fe8d9773534.png)
CQFD
Généralisation aux variables aléatoires non entières
Cette notion de fonction génératrice se généralise aux variables aléatoires continues par les fonctions caractéristiques. Une autre notion utile est la fonction génératrice des moments.
Voir aussi
Références
- ↑ Ce résultat est induit par le fait qu'il existe une relation bijective entre une loi de probabilité et sa fonction génératrice. La loi de probabilité définit la fonction génératrice F et , réciproquement, on retrouve la loi de probabilité à partir de F puisque pk = F (k) (0) / k!. Cette relation justifie l'appellation anglaise de Probability-generating function (en)
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