Fonction génératrice

En mathématiques, la fonction génératrice de la suite est la série formelle définie par

En mathématiques

En mathématiques, la fonction génératrice de la suite (a_n) est la série formelle définie par

$\sum a_nXˆn$

On confond quelquefois la fonction génératrice et une fonction de la variable x. Cependant, il est utile de préciser qu'une fonction génératrice est avant tout une série formelle et que la fonction de la variable x correspondante risque de ne pas converger pour tout x.

fonction génératrice de la suite constante 1 : $\sum Xˆn = \frac{1}{1 - X}$
fonction génératrice de la suite (n) : $\sum nXˆn = \frac{X}{(1-X)ˆ2}$
fonction génératrice de la suite $(n 2)$ : $\sum nˆ2Xˆn = \frac{X(1+X)}{(1-X)ˆ3}$
fonction génératrice de la suite $\frac{1}{n!}$ : $\sum \frac{Xˆn}{n!} = eˆX$

On parle aussi de fonction génératrice exponentielle de la suite (a_n) définie par la série formelle $\sum a_n \frac{Xˆn}{n!}$ .

Quand on travaille plutôt avec l'inverse de X, la variable z=1/X, on parle alors de la transformée en Z, $\sum a_n{(1/z)}ˆn$ , qui est énormément utilisée en traitement du signal et en asservissements.

On peut retrouver la suite d'origine (a_n) à partir de la fonction génératrice $F (X)$ (resp. la fonction génératrice exponentielle $E (X)$ ) selon les formules

$a_k = \frac{1}{k!} \frac{dˆk F}{d Xˆk}(0) \quad\text{ et }\quad a_k = \frac{dˆk E}{d Xˆk}(0)$

En probabilité

Définition

Soit X une variable aléatoire entière et positive, la fonction génératrice de X est la série entière :

$G_X(t)=\sum _{k=0} ˆ\infty \mathbb{P}(X=k)tˆk,$

où est la probabilité que la variable aléatoire X prenne la valeur k.

Fonctions génératrices de lois usuelles

Pour la loi de Poisson de paramètre λ, on a et il vient

$G_{\lambda}(t)=eˆ{\lambda(t-1)}\ ;$

Pour la loi binomiale de paramètres (n, p), on a et on en déduit

G n, p (t) = (1 - p + p t) n .

Propriétés

Le rayon de convergence de cette série entière est toujours supérieur ou égal à 1.

On peut remarquer que

$G_X(t)=\mathbb{E}[tˆ{ X}].$

Si X admet une espérance alors et sa dérivée sont définies en t=1 et on a :

$\mathbb{E}[X]= \frac{dG_X}{dt} (t=1).$

Si X admet une variance, et par conséquent une espérance alors et ses dérivées première et seconde sont définies en t=1 et on a :

$Var[X]=\frac{dˆ2 G_X}{dtˆ2} (t=1) + \frac {dG_X} {dt} (t=1) - \left(\frac{dG_X}{dt} (t=1)\right)ˆ2.$

Si deux variables aléatoires réelles discrètes à valeurs dans admettent la même fonction génératrice, alors elles ont la même loi de probabilité^[1].

Soient X et Y deux variables aléatoires réelles discrètes entières et positives. Si X et Y sont indépendantes alors on a :

$G_{X+Y}=G_X\times G_Y.$

Remarque : La réciproque est fausse.

Si X₁, X₂, ..., X_n est une suite de variables aléatoires indépendantes, et si

$S_n = \sum_{i=1}ˆn a_i X_i,$

où les a_i sont des constantes, alors

$G_{S_n}(z) = E(zˆ{S_n}) = E(zˆ{\sum_{i=1}ˆn a_i X_i,}) = G_{X_1}(zˆ{a_1})G_{X_2}(zˆ{a_2})\cdots G_{X_n}(zˆ{a_n}).$

A titre d'exemple, si les X_i ont de plus même loi (et par conséquent même fonction génératrice G), alors

$S_n = \sum_{i=1}ˆn X_i,$

a pour fonction génératrice :

$G_{S_n} = Gˆn.$

Composition des fonctions génératrices

La propriété suivante est spécifiquement utile à l'étude des processus de Galton-Watson.

Théorème — Soit une suite de variables aléatoires de même loi et une variable aléatoire, toutes à valeurs dans

On pose

$S_N = \sum_{n=1}ˆ{N}X_n= \sum_{n\ge 1}X_n\ 1\!\!1_{\{N\ge n\}}.$

On suppose que la suite est constituée de variables aléatoires indépendantes.

Alors :

$G_{S_N}=G_N\circ G_X.$

Démonstration

Notons que, si et si

$S_n = \sum_{k=1}ˆ{n}X_k,$

alors

$S_N = \sum_{n\ge 0}\ S_n\ 1\!\!1_{\{N= n\}}.$

Donc,

$\begin{align} G_{S_N}(z) &= \mathbb{E}\left[zˆ{S_N}\right]\\ &= \mathbb{E}\left[zˆ{\sum_{n\ge 0}\ S_n\ 1\!\!1_{\{N= n\}}}\right]\\ &= \mathbb{E}\left[\sum_{n\ge 0}\ zˆ{S_n}\ 1\!\!1_{\{N= n\}}\right]\\ &= \sum_{n\ge 0}\ \mathbb{E}\left[zˆ{S_n}\ 1\!\!1_{\{N= n\}}\right]\\ &= \sum_{n\ge 0}\ \mathbb{E}\left[zˆ{S_n}\right]\times\mathbb{E}\left[1\!\!1_{\{N= n\}}\right]\\ &= \sum_{n\ge 0}\ G_{S_n}(z)\times\mathbb{P}\left(N= n\right)\\ &= \sum_{n\ge 0}\ \mathbb{P}\left(N= n\right)\times \left(G_{X}(z)\right)ˆn\\ &= G_N\left(G_X(z)\right). \end{align}$

CQFD

Généralisation aux variables aléatoires non entières

Cette notion de fonction génératrice se généralise aux variables aléatoires continues par les fonctions caractéristiques. Une autre notion utile est la fonction génératrice des moments.

Voir aussi

Références

↑ Ce résultat est induit par le fait qu'il existe une relation bijective entre une loi de probabilité et sa fonction génératrice. La loi de probabilité définit la fonction génératrice F et , réciproquement, on retrouve la loi de probabilité à partir de F puisque $p k = F (k) (0) / k!$ . Cette relation justifie l'appellation anglaise de Probability-generating function (en)

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