Interactions logiques

La notion mathématique d'«interaction logique», conçue comme généralisation de celle d'«interaction», issue du Plan d'Expériences, a été introduite à la fin des années 1990.



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Analyse des données - Statistiques

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  • Il est bon en effet de savoir si de faibles variations d'un paramètre... A si B est faible, A si B est moyen, A si B est fort, etc..... facteurs sur la variable à expliquer, malgré la faible corrélation de celle-ci avec chacun d'entre-eux.... Résultats : Grâce aux des interactions logiques, intégrées au modèle, ... (source : coryent)
  • A est fort et B faible ou A est faible et B fort... 3.3 - Relation entre les interactions logiques. Une variable delà forme a A + ß possède des variations... (source : www-rocq.inria)

La notion mathématique d'«interaction logique», conçue comme généralisation de celle d'«interaction», issue du Plan d'Expériences, a été introduite à la fin des années 1990. Initialement utilisée en analyse des données (Iconographie des corrélations), elle a trouvé un champ d'application dans les modèles de régression multiple non postulés.

Notion d'interaction

La notion d'interaction ne doit pas être confondue avec celle de corrélation. On parle d'effet d'interaction quand une variable à expliquer Y est conditionnée par le couplage de deux variables explicatives A et B.

Dans l'exemple suivant, Y n'est corrélé ni à A ni à B ; mais Y est corrélé négativement au produit A. B. En effet, Y présente de fortes valeurs quand A. B présente de faibles valeurs :

A B A. B Y
Essai 1 -1 -1 1 10
Essai 2 -1 1 -1 21
Essai 3 1 -1 -1 19
Essai 4 1 1 1 9

L'«interaction» A. B est aussi nommé «produit croisé» de A et de B.

Un cas spécifique de tableau de donnée

Le tableau ci-dessus est quelquefois nommé «plan d'expériences complet à 2 niveaux». En effet, chaque variable explicative n'a que 2 niveaux (faible et fort), et l'ensemble des cas sont reconnus, à savoir :

  • A faible et B faible,
  • A faible et B fort,
  • A fort et B faible,
  • A fort et B fort.

La variable à expliquer Y est aussi nommée la "réponse" de l'expérience.


C'est un cas spécifique du «plan d'expériences complet à k niveaux».

Dans un «plan complet», les variables A, B et A. B sont orthogonales, c'est-à-dire que leur corrélation est nulle.

Le plan complet est lui-même un cas spécifique du «plan d'expérience», dans lequel les variables explicatives A et B sont contrôlées de façon raisonnée pour obtenir le maximum d'information concernant leurs influences sur Y, dans le minimum d'essais.

Enfin, le plan d'expériences est un cas spécifique des tableaux de données, dans lesquels les variables explicatives ne sont pas nécessairement contrôlées.

Généralisation aux tableaux quelconques

La notion d'interaction logique, qui va être introduite ci-après, s'applique aux tableaux de données généralement, sur variables quantitatives et/ou qualitatives (pourvu que ces dernières utilisent un codage disjonctif complet).

Lorsque les variables A et B n'ont pas la même unité, comment calculer le produit A. B pour qu'il garde un sens physique ?

Il faut se ramener à une unité commune d'évaluation. L'usage est de centrer diminuer les variables A et B, avant de calculer le produit croisé A. B (les variables centrées réduites ont une moyenne nulle et un écart type égal à un). Dans ces nouvelles unités, notre tableau devient :

A B A. B Y
Essai 1 -0.866 -0.866 . 866 10
Essai 2 -0.866 0.866 -0.866 21
Essai 3 0.866 -0.866 -0.866 19
Essai 4 0.866 0.866 0.866 9

Interprétation physique du produit croisé

L'interprétation physique du produit de deux variables de même unité, comme la longueur et la largeur, est aisée (c'est une surface).

Mais que veut dire l'effet sur Y du produit croisé A. B de deux variables qui étaient à l'origine d'unités différentes, et qui ont été centrées réduites ?

InteractionA°png


Figure 1 : A en abscisse, B en ordonnée ; et les valeurs correspondantes de Y. La variable à expliquer Y est faible si A et B sont faibles, ou bien si A et B sont forts.
Figure 2 :
• en rouge : variation de Y selon A, pour B faible ;
• en bleu : variation de Y selon A, pour B fort.
Y fluctue par conséquent de façon différente selon A, selon que B est faible ou fort.
Figure 3 : profils de variation, selon la suite des essais : Y ressemble en particulier à «A*B». Ou si on préfère, Y est corrélé positivement avec «A*B» et négativement avec A. B.


Ces figures montrent que Y est fort si A est faible et B est fort, ou bien si A est fort et B est faible.

En d'autres termes l'opération «A*B» = -A. B correspond au «ou exclusif» de la logique.


La figure 1 représentait le «ou exclusif» dans le cas où les variables A et B sont discontinues à deux niveaux.

Dans le cas où les variables A et B sont continues, on obtient la figure 4 caractérisée par des «montagnes» en rouge quand A est fort et B faible, ou bien A est faible et B est fort. Dans le cas opposé, il y a des «vallées» (en bleu).

InteractionAB.png
Figure 4 : surfaces de réponse de la variable A*B

Notion d'«interaction logique»

Puisque la variable artificielle «A*B» = -A. B correspond au «ou exclusif» de la logique, il est naturel de s'intéresser aussi à une «interaction logique» bien plus fréquente en physique, à savoir le «et» logique : «A&B».

Dans le cas des variables à 2 niveaux, la colonne «A&B» aura les valeurs suivantes (valeur forte uniquement si A et B sont forts)  :

A B A. B A*B A&B Y
Essai 1 -1 -1 1 -1 -1 10
Essai 2 -1 1 -1 1 -1 21
Essai 3 1 -1 -1 1 -1 19
Essai 4 1 1 1 -1 1 9

Et, dans le cas général des variables continues, nous avons la figure suivante :

InteractionAandB.png
Figure 5 : surface de réponse du «Et logique»

Les figures suivantes montrent d'autres "interactions logiques", dont on trouvera la description ci-après, et les formules mathématiques en références.

LogicalInteraction1.png

LogicalInteraction2.png

Signification des symboles d'interactions logiques

f (A, B) Signification La réponse Y est forte quand...
A*B A ou-exclusif B ... A est fort et B faible ou A est faible et B fort
AˆB A ou B ... A est fort ou B est fort
Aˆ-B A ou non B ... A est fort ou B est faible
A&B A et B ... A et B sont forts
A&-B A et non B ... A est fort et B est faible
A]B A modulé par B ... A est fort si B est fort
A]-B A modulé par non B ... A est fort si B est faible
A}B A modulé par B moyen ... A est fort si B est moyen
A{B A moyen si B ... A est moyen si B est fort
A{-B A moyen si non B ... A est moyen si B est faible
A'B ni A ni B (sens large) ... ni A ni B ne sont extrêmes (ils sont moyens)
A!B ni A ni B (sens strict) ... ni A ni B ne sont extrêmes (ils sont strictement moyens)
A#B A comme B ... A fluctue comme B
A+B "A plus B" ... la somme de A et B (centrés-réduits) est forte
A-B "A moins B" ... la différence de A et B (centrés-réduits) est forte

Voir aussi

Modèles de régression multiple non postulés.

Références

[1] Lesty M. (1999) Une nouvelle approche dans le choix des régresseurs de la régression multiple en présence d'interactions et de colinéarités. La revue de Modulad, n°22, janvier 1999, pp. 41-77

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