Logit

La fonction Logit est une fonction mathématique utilisée essentiellement en statistiques et pour la régression logistique.



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Fonction remarquable - Statistiques

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Représentation graphique de la fonction Logit

La fonction Logit est une fonction mathématique utilisée essentiellement en statistiques et pour la régression logistique. Son expression est

\operatorname{logit}(p)=\ln\left( \frac{p}{1-p} \right)  \!\, où p est défini sur ]0 ; 1[

La base du logarithme utilisé est sans importance tant que celle-ci est supérieure à 1. Il s'agit généralement du logarithme népérien mais on peut trouver aussi le logarithme décimal.

Utilisée avec le logarithme népérien, la fonction Logit est la réciproque de la sigmoïde :

f(x) =  \frac{1}{1+eˆ{-x}}.

Elle est par conséquent utilisée pour linéariser les fonctions logistiques.

Motivation

Si p est une probabilité, cette probabilité sera toujours comprise entre 0 et 1 et toute tentative pour ajuster un nuage de probabilité par une droite sera invalidée par le fait que la droite n'est pas bornée. la transformation de p en p/ (1-p) sert à travailler sur des valeurs variant de 0 à + ∞, puis le passage au logarithme sert à travailler sur un nuage de points dont les valeurs fluctuent entre - ∞ et + ∞. C'est sous cette forme qu'on peut tenter un ajustement du nuage de points.

Fragments d'histoire

La fonction Logit (prononcer logue ite) a été introduite par Joseph Berkson (1899 - 1982) en 1944, qui est l'auteur du terme. Ce terme a été construit par ressemblance et en opposition au terme de probit, notion développée par Chester Ittner Bliss et John Gaddum (1900 - 1965) en 1934. Une distribution de fréquences en forme de S laisse penser, soit à une fonction de répartition d'une loi normale, soit à une courbe logistique. Jusqu'en 1944, le modèle de la loi normale était privilégié et la fonction pour en déterminer les paramètres était la fonction Probit. Pendant plusieurs années, Berkson tente de convaincre la communauté scientifique que le modèle Logit est tout aussi légitime que le modèle Probit mais sa virulence d'une part et la légitimité reconnue de la loi normale d'autre part sont des freins puissants à cette reconnaissance. Il faut le développement parallèle des statistiques et de la biométrie pour que le modèle Logit soit reconnu (1960). Acutellement, il est essentiellement employé dans la régression logistique[1].

Références

  1. (en) J. S. Cramer The origins and development of the logit model, sur le site de l'université de Cambridge

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