Loi bêta

Dans la théorie des probabilités et en statistiques, la loi bêta est une famille de lois de probabilités continues, définies sur, paramétrisée par deux paramètres de forme, typiquement notés α et β.



Catégories :

Loi de probabilité - Statistiques

Page(s) en rapport avec ce sujet :

  • La loi bêta est fréquemment utilisée en analyse du risque pour... la fonction de répartition (fonction BETA. INVERSE) appliquée au résultat de la fonction... (source : www-rocq.inria)
  • La fonction de densité de la loi beta est définie entre 0 et 1, elle est tr`es flexible. 11.1 a = 1, b = 1. La fonction de densité de la loi beta est la même... (source : pbil.univ-lyon1)
  • Yi) = (θ/κ) ˆτ suit la loi beta de seconde espèce β (np, nq). La densité de la loi beta est donnée par : fβ (np, nq) (x) = Γ (np + nq). Γ (np) Γ (nq)... (source : lsta.upmc)
Beta
Densité de probabilité / Fonction de masse
Probability density function for the Beta distribution
Fonction de répartition
Cumulative distribution function for the Beta distribution

Paramètres
Support x \in [0; 1]\!
Densité de probabilité (fonction de masse) \frac{xˆ{\alpha-1}(1-x)ˆ{\beta-1}} {\mathrm{B}(\alpha,\beta)}\!
Fonction de répartition I_x(\alpha,\beta)\!
Espérance \frac{\alpha}{\alpha+\beta}\!
Mode \frac{\alpha-1}{\alpha+\beta-2}\! pour α > 1, β > 1
Variance \frac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta)ˆ2(\alpha+\beta+1)}\!
Asymétrie (statistique) \frac{2\,(\beta-\alpha)\sqrt{\alpha+\beta+1}}{(\alpha+\beta+2)\sqrt{\alpha\beta}}
Kurtosis
(non-normalisé)
see text
Entropie see text
Fonction génératrice des moments 1  +\sum_{k=1}ˆ{\infty} \left( \prod_{r=0}ˆ{k-1} \frac{\alpha+r}{\alpha+\beta+r} \right) \frac{tˆk}{k!}
Fonction caractéristique {}_1F_1(\alpha; \alpha+\beta; i\,t)\!

Dans la théorie des probabilités et en statistiques, la loi bêta est une famille de lois de probabilités continues, définies sur [0, 1], paramétrisée par deux paramètres de forme, typiquement notés α et β. C'est un cas spécial de la distribution de Dirichlet, avec uniquement deux paramètres.

Caractérisation

Fonction de densité

La Densité de probabilité de la loi bêta est :

 f(x;\alpha,\beta) = \frac{xˆ{\alpha-1}(1-x)ˆ{\beta-1}}{\int_0ˆ1 uˆ{\alpha-1} (1-u)ˆ{\beta-1}\, du} \!
= \frac{\Gamma(\alpha+\beta)}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}\, xˆ{\alpha-1}(1-x)ˆ{\beta-1}\!
= \frac{1}{\mathrm{B}(\alpha,\beta)}\, x
ˆ{\alpha-1}(1-x)ˆ{\beta-1}\!

Γ est la Fonction gamma. La Fonction bêta, B, apparaît comme une constante de normalisation, permettant à la densité de s'intégrer à l'unité.

Fonction de répartition

La Fonction de répartition est

F(x;\alpha,\beta) = \frac{\mathrm{B}_x(\alpha,\beta)}{\mathrm{B}(\alpha,\beta)} = I_x(\alpha,\beta) \!

Bx (α, β) est la fonction bêta incomplète et Ix (α, β) est la fonction bêta incomplète régularisée.

Propriétés

Moments

L'espérance et la variance d'une Variable aléatoire bêta de paramètres α et β sont donnés par la formule :

 
  \begin{align}
   \operatorname{E}(X)   = & \frac{\alpha}{\alpha+\beta} \\
   \operatorname{Var}(X) = & \frac{\alpha \beta}{(\alpha+\beta)ˆ2(\alpha+\beta+1)}
  \end{align}

L'asymétrie est


\frac{2 (\beta - \alpha) \sqrt{\alpha + \beta + 1} }   
        {(\alpha + \beta + 2) \sqrt{\alpha \beta}}. \,\!

Le cœfficient d'aplatissement (ou encore kurtosis) est :

6\,\frac{\alphaˆ3-\alphaˆ2(2\beta-1)+\betaˆ2(\beta+1)-2\alpha\beta(\beta+2)}
{\alpha \beta (\alpha+\beta+2) (\alpha+\beta+3)}.\,\!

Formes

La densité de la loi bêta peut prendre différentes formes selon les valeurs des deux paramètres :

  • \alpha = 1,\ \beta = 1 est la Loi uniforme continue;
  • \alpha = 1,\ \beta < 1 ou <img class= est une droite;
  • 1 < \alpha < 2,\ \beta = 1 est strictement concave;
  • <img class=α = β alors la densité est symétrique autour de 1/2 (graphes rouge et violet).

    Estimation des paramètres

    Soit la moyenne empirique

    \bar{x} = \frac{1}{N}\sum_{i=1}ˆN x_i

    et

    v = \frac{1}{N}\sum_{i=1}ˆN (x_i - \bar{x})ˆ2

    la variance. La méthode des moments apporte les estimations suivantes :

    \alpha = \bar{x} \left(\frac{\bar{x} (1 - \bar{x})}{v} - 1 \right),
    \beta = (1-\bar{x}) \left(\frac{\bar{x} (1 - \bar{x})}{v} - 1 \right).


    Distributions associées

    • Si X a une distribution bêta, alors T=X/ (1-X) est distribué selon la distribution bêta du second type;
    • La loi Beta (1, 1) est semblable à la Loi uniforme continue;
    • Si X et Y sont indépendamment distribués selon une loi Gamma, de paramètres (α, θ) et (β, θ) respectivement, alors X /  (X + Y) est distribué selon une loi Beta (α, β) ;
    • Si X \sim {\rm U}(0, 1]\, selon une loi uniforme, alors Xˆ2 \sim {\rm Beta}(1/2,1) \ .
    • La k-ème statistique d'ordre d'un n-échantillon de lois uniformes \ {\rm U}(0, 1]\, suit la loi {\rm Beta}(k,n-k+1) \ .

    Liens externes

  • Recherche sur Amazon (livres) :



    Ce texte est issu de l'encyclopédie Wikipedia. Vous pouvez consulter sa version originale dans cette encyclopédie à l'adresse http://fr.wikipedia.org/wiki/Loi_b%C3%AAta.
    Voir la liste des contributeurs.
    La version présentée ici à été extraite depuis cette source le 07/04/2010.
    Ce texte est disponible sous les termes de la licence de documentation libre GNU (GFDL).
    La liste des définitions proposées en tête de page est une sélection parmi les résultats obtenus à l'aide de la commande "define:" de Google.
    Cette page fait partie du projet Wikibis.
    Accueil Recherche Aller au contenuDébut page
    ContactContact ImprimerImprimer liens d'évitement et raccourcis clavierAccessibilité
    Aller au menu