Loi binomiale

En mathématiques, une loi binomiale de paramètres n et p est une loi de probabilité qui correspond à l'expérience suivante ...



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Loi de probabilité - Statistiques

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Binomiale
Densité de probabilité / Fonction de masse
Distribution de probabilité pour la loi binomiale
Fonction de répartition
Fonction de répartition pour la loi binomiale

Paramètres n \geq 0 nombre d'épreuves (entier)
0\leq p \leq 1 probabilité de succès (réel)
q = 1 − p
Support k \in \{0,\dots,n\}\!
Densité de probabilité (fonction de masse) {n\choose k} pˆk qˆ{n-k} \!
Fonction de répartition I_{1-p}(n-\lfloor k\rfloor, 1+\lfloor k\rfloor) \!
Espérance np\!
Médiane (centre) un des \{\lfloor np\rfloor, \lceil np \rceil\}[1]
Mode \lfloor (n+1)\,p\rfloor\!
Variance npq\!
Asymétrie (statistique) \frac{1-2p}{\sqrt{npq}}\!
Kurtosis
(non-normalisé)
\frac{1-6pq}{npq}\!
Entropie  \frac{1}{2} \ln \left( 2 \pi n e p q \right) + O \left( \frac{1}{n} \right)
Fonction génératrice des moments (q + peˆt)ˆn \!
Fonction caractéristique (q + peˆ{it})ˆn \!

En mathématiques, une loi binomiale de paramètres n et p est une loi de probabilité qui correspond à l'expérience suivante :

On renouvelle n fois de manière indépendante une épreuve de Bernoulli de paramètre p (expérience aléatoire à deux issues envisageables, le plus souvent dénommées respectivement «succès» et «échec», la probabilité d'un succès étant p, celle d'un échec étant q = (1 − p) ). On compte alors le nombre de succès obtenus à l'issue des n épreuves et on nomme X la variable aléatoire correspondant à ce nombre de succès.

L'univers X(\Omega )∼ sert à désigner la totalité des entiers naturels de 0 à n.

La variable aléatoire suit une loi de probabilité définie par :

p(k) = P(X = k)= {n \choose k} \, pˆk qˆ{n-k}

Cette formule fait intervenir le nombre des combinaisons de k éléments parmi n qui se note désormais {n\choose k} même si la notation \mathrm{C}_{n}ˆ{k} a été longtemps utilisée mais n'est plus reconnue. Notons que ce nombre de combinaisons se distingue du nombre des arrangements de k éléments parmi n \,,Aˆk_n = \dfrac{n!}{(n-k)!}\,, du fait que dans une combinaison l'ordre des éléments n'importe pas. Et comme il y a k! (prononcer factorielle k) façons d'ordonner k éléments, le nombre des combinaisons se déduit du nombre des arrangements par la simple division \dfrac{Aˆk_n}{k!}\, et on obtient :

{n\choose k} =\frac{n!}{k!(n-k)!}

Cette loi de probabilité se nomme la loi binomiale de paramètre (n ; p) et se note B (n ; p) .

Calcul de p (k)

Une épreuve de Bernoulli conduit à la création d'un univers Ω = {S ; E}, (S pour Succès et E pour Echec).

n épreuves de Bernoulli indépendantes amènent à la création d'un univers Ωn constitué de n-uplets d'éléments de Ω, sur lequel peut se définir une probabilité produit. La probabilité de l'éventualité (S, S, ..., S, E, E, ..., E) avec k succès et n - k échecs a par conséquent pour valeur pkqn-k.

D'une façon plus générale, tout n-uplet constitué de k succès et de n-k échecs aura pour probabilité pkqn-k quel que soit l'ordre d'apparition des S et des E.

L'évènement «X = k» est constitué de l'ensemble des n-uplets comportant k succès et n - k échecs. La combinatoire sert à déterminer le nombre de n-uplets de ce type : il y en a tout autant que de parties à k éléments d'un ensemble à n éléments ; or chaque partie correspond à une façon de placer les k succès parmi les n places du n-uplet. Il y a par conséquent {n \choose k} n-uplets, chacun ayant une probabilité égale à pkqn-k.

Donc P(X = k) = {n \choose k} \, pˆk (1-p)ˆ{n-k} = {n \choose k} \, pˆk qˆ{n-k}.

Espérance, variance, écart type

X est la somme de n variables aléatoires indépendantes suivant toutes la (même) loi de Bernoulli de paramètre p, prenant la valeur 1 en cas de succès (probabilité p) et 0 en cas d'échec (probabilité (1-p) )  ; ces variables aléatoires ont pour espérance p et pour variance p (1-p) .

Convergence

Pour de grandes valeurs de n, le calcul de {n \choose k} \, pˆk qˆ{n-k} devient vite quasiment impossible, sauf si on cherche à calculer le logarithme de cette expression au lieu de l'expression elle-même (et à condition d'utiliser l'approximation des factorielles par la formule de Stirling). On peut distinguer deux cas :




Loi des grands nombres

La loi binomiale, son espérance et sa variance, mais aussi l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev permettent de démontrer une version simple de la loi des grands nombres.

Références

  1. Hamza, K. (1995). The smallest uniform upper bound on the distance between the mean and the median of the binomial and Poisson distributions. Statist. Probab. Lett. 23 21–25.

Voir aussi

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