Loi de Fisher

Dans la Théorie des probabilités et en Statistiques, la loi de Fisher ou encore loi de Fisher-Snedecor ou encore loi F de Snedecor est une loi de probabilité continue.



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Loi de probabilité - Statistiques

Page(s) en rapport avec ce sujet :

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  • Il est vrai qu'on ne s'amuse pas à comparer la distribution d'une population observée à la fonction de densité d'une loi de Fisher -Snedecor.... (source : jybaudot)
  • La distribution du T de Student est symétrique et tend vers une loi normale quand n... On dit que suit une loi de Fisher -Snedecor à degrés de liberté.... (source : mathsv.univ-lyon1)
Fisher-Snedecor
Densité de probabilité / Fonction de masse
F distributionPDF.png
Fonction de répartition
F distributionCDF.png

Paramètres <img class=Support x \in [0, +\infty[\!
Densité de probabilité (fonction de masse) \frac{\sqrt{\frac{(d_1\,x)ˆ{d_1}\,\,d_2ˆ{d_2}}
{(d_1\,x+d_2)ˆ{d_1+d_2}}}}
{x\,\mathrm{B}\!\left(\frac{d_1}{2},\frac{d_2}{2}\right)}\!
Fonction de répartition I_{\frac{d_1 x}{d_1 x + d_2}}(d_1/2, d_2/2)\!
Espérance \frac{d_2}{d_2-2}\! pour d2 > 2
Mode \frac{d_1-2}{d_1}\;\frac{d_2}{d_2+2}\! pour d1 > 2
Variance \frac{2\,d_2ˆ2\,(d_1+d_2-2)}{d_1 (d_2-2)ˆ2 (d_2-4)}\! pour d2 > 4
Asymétrie (statistique) \frac{(2 d_1 + d_2 - 2) \sqrt{8 (d_2-4)}}{(d_2-6) \sqrt{d_1 (d_1 + d_2 -2)}}\!
pour d2 > 6
Kurtosis
(non-normalisé)
voir texte


Dans la Théorie des probabilités et en Statistiques, la loi de Fisher ou encore loi de Fisher-Snedecor ou encore loi F de Snedecor est une loi de probabilité continue. [1][2][3] Elle tire son nom des statisticiens Ronald Aylmer Fisher et George W. Snedecor. La loi de Fisher survient particulièrement souvent comme distribution de l'hypothèse nulle dans des tests statistiques, comme par exemple les tests du ratio de vraisemblance ou encore dans l'analyse de la variance (F-test).


Caractérisation

Une variable aléatoire réelle distribuée selon la loi de Fisher peut être définie comme le quotient de deux variables aléatoires indépendantes, distribuées selon une loi du χ² :

\frac{U_1/d_1}{U_2/d_2}

avec U1 et U2 ayant respectivement d1 et d2 degrés de liberté.

La densité de probabilité d'une loi de Fisher, F (d1, d2), est donnée par

f(x) = \frac{\left(\frac{d_1\,x}{d_1\,x + d_2}\right)ˆ{d_1/2} \; \left(1-\frac{d_1\,x}{d_1\,x + d_2}\right)ˆ{d_2/2}}{x\; \mathrm{B}(d_1/2, d_2/2)}

pour tout réel x ≥ 0, où d1 et d2 sont des entiers positifs et B est la fonction bêta.

La fonction de répartition associée est F(x)=I_{\frac{d_1 x}{d_1 x + d_2}}(d_1/2, d_2/2)

I est la fonction bêta incomplète régularisée.

L'espérance, la variance valent respectivement

\frac{d_2}{d_2-2}\!

pour d2 > 2 et

\frac{2\,d_2ˆ2\,(d_1+d_2-2)}{d_1 (d_2-2)ˆ2 (d_2-4)}\!

pour d2 > 4. Pour d2 > 8, le kurtosis est

\frac{20d_2-8d_2ˆ2+d_2ˆ3+44d_1-32d_1d_2+A}{d_1(d_2-6)(d_2-8)(d_1+d_2-2)/12}

A=5d_2ˆ2d_1-22d_1ˆ2+5d_2d_1ˆ2-16.


Généralisation

Une généralisation de la loi de Fisher est la loi de Fisher non centrée.


Distributions associées et propriétés

Références

  1. (en) Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, Dover Publications, New York, 1972 (ISBN 978-0-486-61272-0)
  2. NIST (2006). Engineering Statistics Handbook - F Distribution
  3. (en) Alexander Mood, Introduction to the Theory of Statistics (Third Edition, p. 246-249) , McGraw-Hill (ISBN 0-07-042864-6)

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