Loi de Laplace

Dans la théorie des probabilités et en statistiques, la loi de Laplace est une densité de probabilité continue, appelée selon Pierre-Simon Laplace.



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Loi de probabilité - Statistiques

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Laplace
Densité de probabilité / Fonction de masse
Densité de la loi de Laplace
Fonction de répartition
Fonction de répartition de la loi de Laplace

Paramètres \mu\, Paramètre de location (réel)
<img class=Paramètre d'échelle (reél)
Support x \in (-\infty; +\infty)\,
Densité de probabilité (fonction de masse) \frac{1}{2\,b} \exp \left(-\frac{|x-\mu|}b \right) \,
Fonction de répartition voir plus bas
Espérance \mu\,
Médiane (centre) \mu\,
Mode \mu\,
Variance 2\,bˆ2
Asymétrie (statistique) 0\,
Kurtosis
(non-normalisé)
3\,
Entropie \log_2(2\,e\,b)
Fonction génératrice des moments \frac{\exp(\mu\,t)}{1-bˆ2\,tˆ2}\,\! for |t|<1/b\,
Fonction caractéristique \frac{\exp(\mu\,i\,t)}{1+bˆ2\,tˆ2}\,\!

Dans la théorie des probabilités et en statistiques, la loi (distribution) de Laplace est une densité de probabilité continue, appelée selon Pierre-Simon Laplace. On la connaît aussi sous le nom de loi double exponentielle, car sa densité peut être vue comme l'association des densités de deux lois exponentielles, accolées dos à dos. La loi de Laplace s'obtient aussi comme le résultat de la différence deux variables exponentielles indépendantes.

Caractérisation

Densité de probabilité

Une variable aléatoire possède une distribution Laplace (μ, b) si sa densité de probabilité est

f(x|\mu,b) = \frac{1}{2b} \exp \left( -\frac{|x-\mu|}{b} \right) \,\!
    = \frac{1}{2b}
    \left\{\begin{matrix}
      \exp \left( -\frac{\mu-x}{b} \right) & \mbox{si }x < \mu
      \\[8pt]
      \exp \left( -\frac{x-\mu}{b} \right) & \mbox{si }x \geq \mu
    \end{matrix}\right.

Le réel μ est un paramètre de location et b > 0 un paramètre d'échelle. Si μ = 0 et b = 1, la loi de Laplace est dite standard et sa restriction à la demie-droite réelle positive est la loi exponentielle de paramètre 1/2.

La densité rappelle aussi celle de la loi normale; cependant, alors que la loi normale est exprimée en termes de la différence au carré (x − μ) 2, la loi de Laplace fait intervenir la différence absolue | x − μ |. La loi de Laplace présente alors des queues plus épaisses que la loi normale.

Fonction de répartition

La densité de la loi de Laplace s'intègre (très) aisément grâce à la présence de la valeur absolue. Sa fonction de répartition est :

F(x)\, = \int_{-\infty}ˆx \!\!f(u)\,\mathrm{d}u

   = \left\{\begin{matrix}
             &\frac12 \exp \left( -\frac{\mu-x}{b} \right) & \mbox{si }x < \mu
             \\[8pt]
             1-\!\!\!\!&\frac12 \exp \left( -\frac{x-\mu}{b} \right) & \mbox{si }x \geq \mu
            \end{matrix}\right.
=0P,[1 + \sgn(x-\mu)\,(1-\exp(-|x-\mu|/b))].

La réciproque de la fonction de répartition est

Fˆ{-1}(p) = \mu - b\,\sgn(p-0P\,\ln(1 - 2|p-0P).

Tirer une variable selon la loi de Laplace

Étant donné une variable U, tirée selon une loi uniforme dans l'intervalle (-1/2,  1/2], la variable suivante

X=\mu - b\,\sgn(U)\,\ln(1 - 2|U|)

est distribuée selon la loi de Laplace de paramètres μ et b. Ce résultat provient de l'expression de l'inverse de la fonction de répartition et de la méthode de la transformée inverse.

Une variable Laplace (0, b) peut aussi se générer comme la différence de deux variables exponentielles, de paramètre 1/b, indépendantes. De même, une loi Laplace (0, 1) peut s'obtenir en considérant le logarithme du ratio de deux variables uniformes indépendantes.

Estimation des paramètres

Étant donné un échantillon de N variables iid x1, x2, ..., xN, un estimateur \hat{\mu} de μ est la médiane empirique, [1] et un estimateur par maximum de vraisemblance de b est

\hat{b} = \frac{1}{N} \sum_{i = 1}ˆ{N} |x_i - \hat{\mu}|.

Moments

\mu_r' = \bigg({\frac{1}{2}}\bigg) \sum_{k=0}ˆr \bigg[{\frac{r!}{k! (r-k)!}} bˆk \muˆ{(r-k)} k! \{1 + (-1)ˆk\}\bigg]

Lois associées

Références

  1. Robert M. Norton, «The Double Exponential Distribution : Using Calculus to Find a Maximum Likelihood Estimator», dans The American Statistician, vol.  38, no 2, May 1984, p.  135–136 [texte intégral lien DOI] 


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