Loi de Poisson

En théorie des probabilités et en statistiques, la loi de Poisson est une loi de probabilité discrète qui décrit le comportement du nombre d'évènements ayant lieu dans un laps de temps fixé, si ces évènements se produisent avec une fréquence moyenne connue...



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Loi de probabilité - Statistiques

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Poisson
Densité de probabilité / Fonction de masse
Plot  of the Poisson PMF
L'axe horizontal est l'indice k. La fonction est uniquement définie pour les valeurs entières de k.
Fonction de répartition
Plot  of the Poisson CDF
L'axe horizontal est l'indice k. La fonction de répartition est uniquement discontinue pour les valeurs entières de k.

Paramètres \lambda \in ]0,\infty[[1]
Support k \in \{0,1,2,\ldots\}
Densité de probabilité (fonction de masse) \frac{eˆ{-\lambda} \lambdaˆk}{k!}\!
Fonction de répartition \frac{\Gamma(\lfloor k+1\rfloor,  \lambda)}{\lfloor k\rfloor !}\!\text{ pour}k\ge 0

(où Γ (x, y) est la Fonction gamma incomplète)

Espérance \lambda\,
Médiane (centre) \text{environ }\lfloor\lambda+1/3-0/\lambda\rfloor
Mode \lfloor\lambda\rfloor et λ − 1 si λ est un entier
Variance \lambda\,
Asymétrie (statistique) \lambdaˆ{-1/2}\,
Kurtosis
(non-normalisé)
\lambdaˆ{-1}\,
Entropie \lambda[1\!-\!\log(\lambda)]\!+\!eˆ{-\lambda}\sum_{k=0}ˆ\infty  \frac{\lambdaˆk\log(k!)}{k!}.

Pour λ grand :

Fonction génératrice des moments \exp(\lambda (eˆt-1))\,
Fonction caractéristique \exp(\lambda (eˆ{it}-1))\,

En théorie des probabilités et en statistiques, la loi de Poisson est une loi de probabilité discrète qui décrit le comportement du nombre d'évènements ayant lieu dans un laps de temps fixé, si ces évènements se produisent avec une fréquence moyenne connue et indépendamment du temps écoulé depuis l'évènement précédent. La loi de Poisson est aussi pertinente pour décrire le nombre d'évènements dans d'autres types d'intervalles, spatiaux plutôt que temporels, comme des segments, surfaces ou volumes.

La loi de Poisson a été introduite par Siméon-Denis Poisson (1781–1840), en 1838 dans son ouvrage Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile [1]. Le sujet principal de cet ouvrage consiste en certaines variables aléatoires N qui dénombrent, entre autres choses, le nombre d'occurrences (quelquefois nommées “arrivées”) qui prennent place pendant un laps de temps de longueur donnée.

Si le nombre moyen d'occurrences dans cet intervalle est λ, alors la probabilité qu'il existe précisément k occurrences (k étant un entier naturel, k = 0, 1, 2, ... ) est

p(k) =  P(N = k)= \mathrm{e}ˆ{-\lambda}\frac{\lambda ˆk}{k!}\,

On dit tandis que N suit la loi de Poisson de paramètre λ.


A titre d'exemple, si un certain type d'évènements se produit en moyenne 4 fois par minute, et si vous êtes intéressé par le nombre d'évènements ayant lieu dans un laps de temps de 10 minutes, vous allez choisir comme modèle une loi de Poisson de paramètre λ = 10× 4 = 40.

Calcul de p (k)

Ce calcul peut se faire de manière déductive en œuvrant sur une loi binomiale de paramètres (T; λ/T). Pour T grand, on démontre que la loi binomiale converge vers la loi de Poisson.

Il peut aussi se faire de manière inductive en étudiant sur l'intervalle [0; T] les fonctions Fk (t) = probabilité que l'événement se produise k fois sur l'intervalle de temps [0 ; t]. En utilisant la récurrence et du calcul différentiel, on parvient à retrouver les formules précédentes.

Espérance, variance, écart type, fonctions génératrices

G_{X} (t) =\ eˆ{\lambda(t-1)}.
M_{X}(t)\equiv   \mathbb{E}(eˆ{tX})=\exp\left(\lambda (eˆt-1)\right).

Domaine d'application

Le domaine d'application de la loi de Poisson a été longtemps limité à celui des événements rares comme les suicides d'enfants, les arrivées de bateaux dans un port ou les accidents dus aux coups de pied de cheval dans les armées (étude de Ladislaus Bortkiewicz).

Mais depuis quelques décennies son champ d'application s'est énormément élargi. Aujourd'hui, on l'utilise énormément dans les télécommunications (pour compter le nombre de communications dans un intervalle de temps donné), le contrôle de qualité statistique, la description de certains phénomènes liés à la désintégration radioactive (la désintégration des noyaux radioactifs suivant, d'autre part, une loi exponentielle de paramètre noté aussi lambda), la biologie (mutations), la météorologie, la finance pour modéliser la probabilité de défaut d'un crédit…

Lien avec la loi de Bernoulli

Le décompte des évènements rares se fait fréquemment au travers d'une somme de variables de Bernoulli, la rareté des évènements se traduisant par le fait que les paramètres de ces variables de Bernoulli sont petits (ainsi, la probabilité que chaque évènement survienne est faible). Le lien entre la loi de Poisson et les évènements rares peut alors s'énoncer ainsi :

Paradigme de Poisson —  La somme Sn de la plupart de variables de Bernoulli indépendantes de petit paramètre suit approximativement la loi de Poisson de paramètre

L'inégalité de Le Cam précise le paradigme de Poisson : soit un tableau de variables aléatoires de Bernoulli indépendantes, avec paramètres respectifs On note

S_n=\sum_{k=1}ˆ{a_n}\,X_{k,n}\quad\text{et}\quad\lambda_n\    =\ \mathbb{E}[S_n]=\sum_{k=1}ˆ{a_n}\,p_{k,n}.\

Inégalité de Le Cam[2] — Pour tout ensemble A d'entiers naturels,

\left|\mathbb{P}\left(S_n\in  A\right)-\sum_{k\in    A}\,\frac{\lambda_nˆk\,eˆ{-\lambda_n}}{k!}\right|\     \le\ \sum_{k=1}ˆ{a_n}\,p_{k,n}ˆ2.

En particulier, si les deux conditions suivantes sont réunies :

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alors Sn converge en loi vers la loi de Poisson de paramètre λ.

Dans l'énoncé du paradigme de Poisson, on fait deux hypothèses (vagues) sur les termes d'une somme Sn de variables de Bernoulli :

\lim_n   \max_{1\le k\le  a_n}\,p_{k,n}\,=\,0,\
\lim_n  a_n\,=\,+\infty.\
Remarques :
  • Ce paradigme reste pertinent, dans certaines conditions, si on relaxe l'hypothèse d'indépendance[3]. Un exemple frappant est nombre de points fixes d'une permutation tirée au hasard.
  • Le cas spécifique an=n, pk, n=λ/n, λn, de l'inégalité de Le Cam, précise la rapidité de convergence de la loi binomiale de paramètres n et λ/n vers la loi de Poisson de paramètre λ.

Diagrammes en bâtons

Comme toute loi de probabilité discrète, une loi de Poisson peut être représentée par un diagramme en bâtons. Ci-dessous sont représentés les diagrammes en bâtons des lois de Poisson de paramètres 1, 2 et 5.

diagramme  en bâtons d'une loi de Poisson de paramètre 1 diagramme  en bâtons d'une loi de Poisson de paramètre 2 diagramme  en bâtons d'une loi de Poisson de paramètre 5

Quand le paramètre λ de la loi de Poisson devient grand, (quasiment quand il est supérieur à 5), son diagramme en bâton est correctement approché par l'histogramme d'une loi normale d'espérance et de variance identiques à λ (l'intervalle de classe étant égal à l'unité). Cette convergence était mise à profit, avant que les moyens informatiques ne se généralisent, pour utiliser la loi normale en lieu et place de la loi de Poisson dans certains tests.

Stabilité de la loi de Poisson par la somme

Si X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes qui suivent des lois de Poisson de paramètres λ et μ, alors X+Y est une variable aléatoire qui suit la loi de Poisson de paramètre λ + μ.


Théorème — Si   X\sim \mathcal{P}(\lambda) et Y \sim \mathcal{P}(\mu) sont indépendantes, alors X+Y \sim  \mathcal{P}(\lambda+\mu)

La loi de Poisson en littérature

Dans le roman de Thomas Pynchon, L'Arc-en-ciel de la gravité, un des personnages, le statisticien Roger Mexico, utilise la loi de Poisson pour cartographier les zones d'impact des fusées allemandes V2 sur la ville de Londres durant la bataille d'Angleterre.

Voir aussi

Notes

  1. Avec les conventions habituelles 0!=1 et 00=1, la définition de la loi de Poisson couvre à λ=0 : on trouve alors p (0) =1 et , dès que k>0, p (k) =0. Ainsi une variable aléatoire nulle presque sûrement peut être vue comme suivant la loi de Poisson de paramètre 0. Cette convention est cohérente avec les propriétés principales de la loi de Poisson de paramètre strictement positif. Elle est commode, ou alors indispensable, par exemple lors de l'étude des processus ponctuels de Poisson.
  2. L. Le Cam, «An Approximation Theorem for the Poisson Binomial Distribution», dans Pacific Journal of Mathematics, vol.  10, no 4, 1960, p.  1181–1197 [texte intégral (page consultée le 2009-05-13) ]
  3. (en) A. D. Barbour, L. Holst et S. Janson, Poisson approximation, The Clarendon Press Oxford University Press, 1992 (ISBN 0198522355) .

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