Loi de Rice

En statistiques et théorie des probabilités, la loi de Rice est une loi statistique continue.



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Loi de probabilité - Statistiques

Page(s) en rapport avec ce sujet :

  • Donner la loi de Z. 2. Calculer la distribution de probabilité du module |Z| (loi de Rice). Indication : On rappelle que la fonction de Bessel modifiée de ... (source : perso.telecom-paristech)
  • Loi de l'enveloppe : distribution de Rice. 1 paramètre clé :.... On calcule la probabilité d'erreur résultante avec la même formule que dans le cas... (source : perso.ens-lyon)

En statistiques et théorie des probabilités, la loi de Rice est une loi statistique continue (c'est-à-dire à densité).

C'est une généralisation de la loi de Rayleigh utilisée pour décrire le comportement d'un signal radio qui se propage selon plusieurs chemins (multipath) avant d'être reçu par une antenne.


Rice
Densité de probabilité / Fonction de masse
Rice probability density functions σ = 1.0
Densité de probabilité de la loi de Rice pour différentes valeurs de ν  avec σ = 1.
Rice probability density functions σ = 0%
Densité de probabilité de la loi de Rice pour différentes valeurs de ν  avec σ = 0, 25.
Fonction de répartition
Fonction de répartition pour la loi de Rice avec σ = 1.0
Fonction de répartition pour la loi de Rice avec σ = 1, 0 pour différentes valeurs de ν.
Rice cumulative distribution functions σ = 0%
Fonction de répartition pour la loi de Rice avec σ = 0, 25 pour différentes valeurs de ν.

Paramètres \nu\ge 0\,
\sigma\ge 0\,
Support x\in [0;\infty)
Densité de probabilité (fonction de masse) \frac{x}{\sigmaˆ2}\exp\left(\frac{-(xˆ2+\nuˆ2)}
{2\sigmaˆ2}\right)I_0\left(\frac{x\nu}{\sigmaˆ2}\right)
Fonction de répartition 1-Q_1\left(\frac{\nu}{\sigma },\frac{x}{\sigma }\right)

Q1 is the Marcum Q-Function

Espérance \sigma  \sqrt{\pi/2}\,\,L_{1/2}(-\nuˆ2/2\sigmaˆ2)
Variance 2\sigmaˆ2+\nuˆ2-\frac{\pi\sigmaˆ2}{2}L_{1/2}ˆ2\left(\frac{-\nuˆ2}{2\sigmaˆ2}\right)
Asymétrie (statistique) (compliqué)
Kurtosis
(non-normalisé)
(compliqué)

Caractérisation

Soient deux variables de Gauss centrées, indépendantes, de même variance σ2. Si on considère qu'elles représentent les deux coordonnées d'un point d'un plan, la distance de ce point à l'origine suit une loi de Rayleigh :

f(x,\sigma) = \frac{x}{\sigmaˆ2}\exp\left(\frac{-xˆ2)} {2\sigmaˆ2}\right).

En supposant que la distribution est centrée sur un point de coordonnées (ν, ν) , la densité de probabilité devient :


f(x|\nu,\sigma) = \frac{x}{\sigmaˆ2}\exp\left(\frac{-(xˆ2+\nuˆ2)}
{2\sigmaˆ2}\right)I_0\left(\frac{x\nu}{\sigmaˆ2}\right)

I0 (z) est la Fonction de Bessel modifiée de première espèce et d'ordre 0.

Propriétés

Moments

Les premiers moments (non-centrés) sont :

\mu_1=  \sigma  \sqrt{\pi/2}\,\,L_{1/2}(-\nuˆ2/2\sigmaˆ2)
\mu_2= 2\sigmaˆ2+\nuˆ2\,
\mu_3= 3\sigmaˆ3\sqrt{\pi/2}\,\,L_{3/2}(-\nuˆ2/2\sigmaˆ2)
\mu_4= 8\sigmaˆ4+8\sigmaˆ2\nuˆ2+\nuˆ4\,
\mu_5=15\sigmaˆ5\sqrt{\pi/2}\,\,L_{5/2}(-\nuˆ2/2\sigmaˆ2)
\mu_6=48\sigmaˆ6+72\sigmaˆ4\nuˆ2+18\sigmaˆ2\nuˆ4+\nuˆ6\,
L_\nu(x)=L_\nuˆ0(x)=M(-\nu,1,x)=\,_1F_1(-\nu;1;x)

où, Lν (x) représente un Polynôme de Laguerre.

Pour le cas ν = 1/2 :

L_{1/2}(x)=\,_1F_1\left( -\frac{1}{2};1;x\right)
=eˆ{x/2} \left[\left(1-x\right)I_0\left(\frac{-x}{2}\right) -xI_1\left(\frac{-x}{2}\right) \right].

Généralement les moments sont donnés par

\mu_k=sˆk2ˆ{k/2}\,\Gamma(1\!+\!k/2)\,L_{k/2}(-\nuˆ2/2\sigmaˆ2), \,

s = σ1/2.

Quand k est pair, les moments deviennent des polynômes en σ et ν.

Distributions liées

1. Tirer P selon une loi de Poisson, de paramètre \lambda = \frac{\nuˆ2}{2\sigmaˆ2}.
2. Tirer X selon une loi du Chi-deux avec 2P + 2 degrés de liberté.
3. Poser R = \sigma\sqrt{X}.

Cas limites

Pour de grandes valeurs de l'argument, le polynôme de Laguerre devient (voir Abramowitz & Stegun §13.5.1)

\lim_{x\rightarrow -\infty}L_\nu(x)=\frac{|x|ˆ\nu}{\Gamma(1+\nu)}.

On peut constater que quand ν devient grand ou que σ devient petit, alors la moyenne devient ν et la variance σ2.

Voir aussi

Références

Lien externe


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La version présentée ici à été extraite depuis cette source le 07/04/2010.
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