Loi du χ²

La loi du χ² est une loi à densité de probabilité. Cette loi est caractérisée par un paramètre dit degrés de liberté à valeur dans la totalité des entiers naturels.

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Loi du χ²
Densité de probabilité / Fonction de masse
Fonction de répartition

Paramètres	$<img class=$ Support	$x \in [0; +\infty[\,$
Densité de probabilité (fonction de masse)	$\frac{(1/2)ˆ{k/2}}{\Gamma(k/2)} xˆ{k/2 - 1} eˆ{-x/2}\,$
Fonction de répartition	$\frac{\gamma(k/2,x/2)}{\Gamma(k/2)}\,$
Espérance	$k\,$
Médiane (centre)	approximativement $k-2/3\,$
Mode	$k-2\,$ si $k\geq 2\,$
Variance	$2\,k\,$
Asymétrie (statistique)	$\sqrt{8/k}\,$
Kurtosis (non-normalisé)	$3 + {12\over k} \,$
Entropie	$\frac{k}{2}\!+\!\ln(2\Gamma(k/2))\!+\!(1\!-\!k/2)\psi(k/2)$
Fonction génératrice des moments	$(1-2\,t)ˆ{-k/2}$ pour $2\,t<1\,$
Fonction caractéristique	$(1-2\,i\,t)ˆ{-k/2}\,$

La loi du χ² (prononcer «khi-deux» ou «khi carré») est une loi à densité de probabilité. Cette loi est caractérisée par un paramètre dit degrés de liberté à valeur dans la totalité des entiers naturels (non nuls).

Soit $X_1, \ldots , X_k$ $k$ variables aléatoires indépendantes de même loi normale centrée et réduite, alors par définition la variable $X \$ , telle que

$X: \ =\sum_{i=1}ˆk X_iˆ2$

suit une loi du χ² à k degrés de liberté.

Soit $X∼$ une variable aléatoire suivant une loi du χ² à $k∼$ degrés de liberté, on notera $\chiˆ2(k)∼$ la loi de $X∼$ .

Alors la densité de $X∼$ notée $f_X∼$ sera :

$f_X(t)=\frac{1}{2ˆ\frac{k}{2}\Gamma(\frac{k}{2})} tˆ{\frac{k}{2} - 1} eˆ{-\frac{t}{2}}\,$ pour tout t positif

où Γ est la fonction gamma.

L'espérance mathématique de $X$ vaut $k$ et sa variance vaut $2 k$ .

Approximation

Quand k est «grand» (k > 100), la loi du χ² peut s'approximer par une loi normale d'espérance k et de variance 2k.

Utilisation

La principale utilisation de cette loi consiste à apprécier l'correction d'une loi de probabilité à une distribution empirique en utilisant le test du χ² basé sur la loi multinomiale. D'une façon plus générale elle s'applique dans le test d'hypothèses à certains seuils (indépendance surtout).

Lien avec les méthodes bayésiennes

Dans son ouvrage Décisions rationnelles dans l'incertain (1974), qui forme une somme des techniques bayésiennes dont la grande émergence se fait à cette époque, le professeur Myron Tribus montre que le χ² forme un exemple de passage à la limite du psi-test (test de plausibilité) bayésien quand le nombre de valeurs en présence devient grand - ce qui est la condition de travail des statistiques classiques, mais pas obligatoirement des bayésiennes. Le raccord entre les deux disciplines, qui sont asymptotiquement convergentes, est ainsi complet.

L'ouvrage de référence de Jaynes en donne aussi une démonstration en page 287^[1].

Voir aussi

Notes et références

↑ Introduction du livre

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