Loi hypergéométrique

Une loi hypergéométrique de paramètres n, p et A correspond au modèle suivant ...



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Loi de probabilité - Statistiques

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  • La loi hypergéométrique est utilisée pour modéliser un ”sondage sans remise“..... Une grandeur influencée par la plupart de paramètres..... Une urne contient 3 sortes de boules de poids différents : 7 boules de poids 1kg, ... (source : perso.univ-rennes1)
Hypergéométrique
Paramètres \begin{align}A&\in 0,1,2,\dots \\
                                 p&\in [0;1] \\
                                 n&\in 0,1,2,\dots,N\end{align}\,
Support
Densité de probabilité (fonction de masse) \frac{C_{pA}ˆkC_{qA}ˆ{n-k}}{C_Aˆn}
Espérance np
Mode \left \lfloor (n+1)\frac{(pA+1)}{A+2} \right \rfloor
Variance npq\frac{(A-n)}{(A-1)}
Asymétrie (statistique) \frac{(A-2n)(1-2p)(A-1)ˆ\frac{1}{2}}{[npq(A-n)]ˆ\frac{1}{2}(A-2)}
Kurtosis
(non-normalisé)
 \left[\frac{Aˆ2(A-1)}{n(A-2)(A-3)(A-n)}\right]

\cdot\left[\frac{A(A+1)-6A(A-n)}{pqAˆ2}\right. +\leftrac{3n(A-n)(A+6)}{Aˆ2}-6\right]

Fonction génératrice des moments
Fonction caractéristique

Une loi hypergéométrique de paramètres n, p et A correspond au modèle suivant :

On tire simultanément n boules dans une urne contenant pA boules gagnantes et qA boules perdantes (avec q = 1 - p). On compte alors le nombre de boules gagnantes extraites et on nomme X la variable aléatoire donnant le nombre de boules gagnantes.

L'univers X (Ω) est la totalité des entiers de 0 à n. La variable aléatoire suit une loi de probabilité définie par

p(k)=\frac{C_{pA}ˆkC_{qA}ˆ{n-k}}{C_Aˆn}.

Cette loi de probabilité se nomme la loi hypergéométrique de paramètres (n ; p ; A). Il est indispensable que p soit un réel compris entre 0 et 1, que pA soit entier et que nA. Quand ces conditions ne sont pas imposées, la totalité des envisageables X (Ω) est la totalité des entiers entre max (0;n-qA) et min (pA;n).

Une autre paramétrisation particulièrement répandue consiste à considérer une loi Hypergéométrique de paramètres (A, Na, n) avec A le nombre total de boules, Na le nombre de boules à succès (ici pA) et n le nombre de tirages.

Calcul de p (k)

Il s'agit d'un tirage simultané (c'est-à-dire non ordonné et sans remise) de n éléments parmi A. Tirage qu'on considère comme équiprobable.

La combinatoire sert à dire que le cardinal de l'univers est C_Aˆn.

Tirage Resté dans l'urne Total
succès k pA-k pA
échec n-k qA - n + k qA
Total n A-n A

L'événement «X=k» (voir tableau) veut dire qu'on a tiré k boules gagnantes parmi pA et n - k boules perdantes parmi qA. Le cardinal de cet événement est par conséquent C_{pA}ˆkC_{qA}ˆ{n-k}.

La probabilité de l'événement est par conséquent 0 p(k)=\frac{C_{pA}ˆkC_{qA}ˆ{n-k}}{C_Aˆn}

Espérance, variance et écart type

L'espérance d'une variable aléatoire suivant une loi hypergéométrique est la même que dans le cas binômiale. X\, suit une loi hypergéométrique de paramètres n, p, A\,, alors son espérance est \mathbb{E}(X)=np\,.

La variance d'une variable aléatoire suivant une loi hypergéométrique de paramètres n, p, A est npq\frac{A - n}{A - 1}

L'écart type est alors \sqrt{npq}\sqrt{\frac{A - n}{A - 1}}.

Convergence

Pour n petit devant A, la loi hypergéométrique converge vers une loi binomiale de paramètres n et p. En réalité, on considère que, pour A grand, tirer simultanément n boules revient à effectuer n fois une épreuve de Bernoulli dont la probabilité de succès serait p (p est la proportion de boules gagnantes dans la totalité des boules), car il est particulièrement peu probable de retomber sur la même boule, même si on la replace dans l'urne.



En pratique, on peut approximer la loi hypergéométrique de paramètres (n ; p ; A) par une loi binomiale de paramètres (n ; p) dès que n/A < 10%. C'est-à-dire lorsque l'échantillon n est 10 fois plus petit que la population A.

Un exemple particulièrement classique de ce remplacement concerne le sondage. On considère souvent le sondage de n personnes comme n sondages indépendants tandis qu'en réalité le sondage est exhaustif (on n'interroge jamais deux fois la même personne). Comme n (nombre de personnes interrogées) < A (population sondée) /10, cette approximation est légitime.

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