Loi inverse-gamma

Dans la Théorie des probabilités et en Statistiques, la distribution inverse-gamma est une famille de lois de probabilité continues à deux paramètres sur la demi-droite des réels positifs.

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Loi de probabilité - Statistiques

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Inverse-gamma
Densité de probabilité / Fonction de masse
Fonction de répartition

Paramètres	$α > 0$ paramètre de forme (réel) $β > 0$ paramètre d'échelle (réel)
Support	$x\in(0;\infty)\!$
Densité de probabilité (fonction de masse)	$\frac{\betaˆ\alpha}{\Gamma(\alpha)} xˆ{-\alpha - 1} \exp \left(\frac{-\beta}{x}\right)$
Fonction de répartition	$\frac{\Gamma(\alpha,\beta/x)}{\Gamma(\alpha)} \!$
Espérance	$\frac{\beta}{\alpha-1}\!$ pour $α > 1$
Mode	$\frac{\beta}{\alpha+1}\!$
Variance	$\frac{\betaˆ2}{(\alpha-1)ˆ2(\alpha-2)}\!$ pour $α > 2$
Asymétrie (statistique)	$\frac{4\sqrt{\alpha-2}}{\alpha-3}\!$ pour $α > 3$
Kurtosis (non-normalisé)	$\frac{30\,\alpha-66}{(\alpha-3)(\alpha-4)}\!$ pour $α > 4$
Entropie	$\alpha\!+\!\ln(\beta\Gamma(\alpha))\!-\!(1\!+\!\alpha)\psi(\alpha)$
Fonction génératrice des moments	$\frac{2\left(-\beta t\right)ˆ{\!\!\frac{\alpha}{2}}}{\Gamma(\alpha)}K_{\alpha}\left(\sqrt{-4\beta t}\right)$
Fonction caractéristique	$\frac{2\left(-i\beta t\right)ˆ{\!\!\frac{\alpha}{2}}}{\Gamma(\alpha)}K_{\alpha}\left(\sqrt{-4i\beta t}\right)$

Dans la Théorie des probabilités et en Statistiques, la distribution inverse-gamma est une famille de lois de probabilité continues à deux paramètres sur la demi-droite des réels positifs. Il s'agit de l'inverse d'une variable aléatoire distribuée selon une Distribution Gamma.

Caractérisation

Densité de probabilité

La Densité de probabilité de la loi inverse-gamma est définie sur le support $x > 0$ par :

$f(x; \alpha, \beta) = \frac{\betaˆ\alpha}{\Gamma(\alpha)} (1/x)ˆ{\alpha + 1}\exp\left(-\beta/x\right)$

où $α$ est un Paramètre de forme et $β$ un paramètre d'intensité, c'est-à-dire l'inverse d'un Paramètre d'échelle.

Fonction de répartition

La Fonction de répartition est la Fonction gamma régularisée :

$F(x; \alpha, \beta) = \frac{\Gamma(\alpha,\beta/x)}{\Gamma(\alpha)} \!$

où le numérateur est la fonction gamma incomplète et le dénominateur est la Fonction gamma.

Distributions associées

Si $X ˜Inv-Gamma (α, β)$ et $\alpha = \frac{\nu}{2}, \beta = \frac{1}{2}$ alors $X \sim \mbox{Inv-chi-square}(\nu)\,$ est une loi du chi-deux (χ²) inverse;
Si $X \sim \mbox{Inv-Gamma}(k, \theta)\,$ , alors $1/X \sim \mbox{Gamma}(k, \thetaˆ{-1})\,$ est une Distribution Gamma;
Une généralisation multivariée de la loi inverse-gamma est la distribution Wishart inverse;

Obtention à partir de la loi Gamma

La densité de la loi gamma est

$f(x) = xˆ{k-1} \frac{eˆ{-x/\theta}}{\thetaˆk \, \Gamma(k)}$

et définissons la transformation $Y = g(X) = \frac{1}{X}$ . La densité de la transformée est alors

$f_Y(y) = f_X \left( gˆ{-1}(y) \right) \left| \frac{d}{dy} gˆ{-1}(y) \right|$

$= \frac{1}{\thetaˆk \Gamma(k)} \left( \frac{1}{y} \right)ˆ{k-1} \exp \left( \frac{-1}{\theta y} \right) \frac{1}{yˆ2}$

$= \frac{1}{\thetaˆk \Gamma(k)} \left( \frac{1}{y} \right)ˆ{k+1} \exp \left( \frac{-1}{\theta y} \right)$

$= \frac{1}{\thetaˆk \Gamma(k)} yˆ{-k-1} \exp \left( \frac{-1}{\theta y} \right)$

Remplaçant $k$ par $α$ , $θ - 1$ par $β$ et enfin $y$ par $x$ donne la densité donnée plus haut :

$f(x) = \frac{\betaˆ\alpha}{\Gamma(\alpha)} xˆ{-\alpha-1} \exp \left( \frac{-\beta}{x} \right)$

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