Loi log-normale

En probabilité et statistique, une variable aléatoire X est dite suivre une loi log-normale de paramètres μ et σ si la variable Y= l n suit une loi normale de paramètres μ et σ.



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Loi de probabilité - Statistiques

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  • Une distribution est modélisable par la loi log - normale (ou loi de Galton) quand les effets de nombreux facteurs indépendants se multiplient entre eux.... (source : jybaudot)
  • Conclusion : la moyenne d'une loi normale centrée réduite est nulle.... telles que les lois normales (la normale et la log - normale) n'ont pas de forme... (source : bf.refer)
Loi Log-normale
Densité de probabilité / Fonction de masse
Plot of the Lognormal PMF
μ=0
Fonction de répartition
Plot of the Lognormal CMF
μ=0

Paramètres σ > 0
-\infty < \mu < \infty
Support  [0; +\infty)\!
Densité de probabilité (fonction de masse) \frac{1}{x\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{\left[\ln(x)-\mu\right]ˆ2}{2\sigmaˆ2}\right)
Fonction de répartition \frac{1}{2}+\frac{1}{2} \mathrm{erf}\left[\frac{\ln(x)-\mu}{\sigma\sqrt{2}}\right]
Espérance eˆ{\mu+\sigmaˆ2/2}
Médiane (centre) eμ
Mode eˆ{\mu-\sigmaˆ2}
Variance (eˆ{\sigmaˆ2}\!\!-1) eˆ{2\mu+\sigmaˆ2}
Asymétrie (statistique) (eˆ{\sigmaˆ2}\!\!+2)\sqrt{eˆ{\sigmaˆ2}\!\!-1}
Kurtosis
(non-normalisé)
\frac{eˆ{6\sigmaˆ2}-4eˆ{3\sigmaˆ2}+6eˆ{\sigmaˆ2}-3}{eˆ{4\mu+2\sigmaˆ2}(eˆ{\sigmaˆ2}-1)ˆ4}
Entropie \frac{1}{2}+\frac{1}{2}\ln(2\pi\sigmaˆ2) + \mu

En probabilité et statistique, une variable aléatoire X est dite suivre une loi log-normale de paramètres μ et σ si la variable Y=ln (X) suit une loi normale de paramètres μ et σ.

Cette loi est quelquefois aussi nommé loi de Galton.

Une variable peut être modélisée par une loi log-normale si elle est le résultat de la multiplication de la plupart de petits facteurs indépendants.


Caractérisation

Densité

La loi log-normale de paramètres μ et σ admet pour densité

f(x;\mu,\sigma) = \frac{eˆ{-(\ln x - \mu)ˆ2/(2\sigmaˆ2)}}{x \sigma \sqrt{2 \pi}}

pour x > 0. μ et σ sont la moyenne et l'écart type du logarithme de la variable (puisque par définition, le logarithme de la variable est distribué selon une loi normale de moyenne μ et d'écart-type σ).

Fonction de répartition

\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \mathrm{erf}\left[\frac{\ln(x)-\mu}{\sigma\sqrt{2}}\right]

Moments

Tous les moments existent et sont donnés par :

\mu_k=eˆ{k\mu+kˆ2\sigmaˆ2/2}.

Espérance et écart-type

L'espérance est

\mathrm{E}(X) = eˆ{\mu + \sigmaˆ2/2}

et la variance est

\mathrm{Var}(X) = (eˆ{\sigmaˆ2} - 1) eˆ{2\mu + \sigmaˆ2}.\,

Des relations équivalentes permettent d'obtenir μ et σ étant données l'espérance et l'écart-type :

\mu = \ln(\mathrm{E}(X))-\frac{1}{2}\ln\left(1+\frac{\mathrm{Var}(X)}{(\mathrm{E}(X))ˆ2}\right),
\sigmaˆ2 = \ln\left(\frac{\mathrm{Var}(X)}{(\mathrm{E}(X))ˆ2}+1\right).

Interprétation

Cette loi de distribution est spécifiquement utilisée en analyse quantitative pour représenter les cours des instruments financiers (surtout actions, cours de change, taux d'intérêt, métaux précieux). Les cours ne peuvent pas être négatifs et il est plus pertinent d'exprimer les variations sous forme relative en pourcentage, par conséquent les cours sont représentés le plus souvent grossièrement par une loi log-normale.


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