Loi logarithmique

En Probabilité et en Statistiques, la loi logarithmique est une loi de probabilité discrète, dérivée du développement de Taylor suivant ...



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Loi de probabilité - Statistiques

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Logarithmique
Paramètres 0 < p < 1\!
Support k \in \{1,2,3,\dots\}\!
Densité de probabilité (fonction de masse) \frac{-1}{\ln(1-p)} \; \frac{\;pˆk}{k}\!
Fonction de répartition 1 + \frac{\Beta_p(k+1,0)}{\ln(1-p)}\!
Espérance \frac{-1}{\ln(1-p)} \; \frac{p}{1-p}\!
Mode 1
Variance -p \;\frac{p + \ln(1-p)}{(1-p)ˆ2\,\lnˆ2(1-p)} \!
Fonction génératrice des moments \frac{\ln(1 - p\,\exp(t))}{\ln(1-p)}\!
Fonction caractéristique \frac{\ln(1 - p\,\exp(i\,t))}{\ln(1-p)}\!

En Probabilité et en Statistiques, la loi logarithmique est une loi de probabilité discrète, dérivée du développement de Taylor suivant :

 -\ln(1-p) = p + \frac{pˆ2}{2} + \frac{pˆ3}{3} + \cdots.

pour 0 < p < 1. On peut en déduire l'identité qui suit :

\sum_{k=1}ˆ{\infty} \frac{-1}{\ln(1-p)} \; \frac{pˆk}{k} = 1.

On peut en tirer la loi de probabilité d'une variable aléatoire X distribuée selon une loi logarithmique, notée Log (p)  :

 f(k;p) = P(X=k) = \frac{-1}{\ln(1-p)} \; \frac{pˆk}{k}

pour k \ge 1, et où 0 < p < 1.

La fonction de répartition associée est

 F(k) = 1 + \frac{\Beta_p(k+1,0)}{\ln(1-p)}

Β est la fonction bêta incomplète.

Un mélange loi de Poisson- loi logarithmique possède une loi binomiale négative : si N est une variable aléatoire tirée selon une loi de Poisson et que Xi, i = 1, 2, 3, ... est une série illimitée de variables semblablement et indépendamment distribuées selon une loi Log (p), alors

\sum_{n=1}ˆN X_i

est distribuée selon une loi binomiale négative.


Ronald Fisher a utilisé cette loi dans certains modèles de la génétique des populations.

Références

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