Loi normale asymétrique

En théorie des probabilités et en statistiques, la distribution normale asymétrique est une distribution de probabilité continue qui généralise la distribution normale en introduisant une asymétrie non nulle.



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Loi de probabilité - Statistiques

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Normale Asymétrique
Densité de probabilité / Fonction de masse
Probability density plots of skew normal distributions
Fonction de répartition
Cumulative distribution function plots of skew normal distributions

Paramètres \xi \, position (réel)
\omega \, échelle (réel positif)
\alpha \, forme (asymétrie) (réel)
Support x \in (-\infty; +\infty)\!
Densité de probabilité (fonction de masse) \frac{1}{\omega\pi} eˆ{-\frac{(x-\xi)ˆ2}{2\omegaˆ2}} \int_{-\infty}ˆ{\alpha\left(\frac{x-\xi}{\omega}\right)}  eˆ{-\frac{tˆ2}{2}}\ dt
Fonction de répartition
Espérance \xi + \omega\delta\sqrt{\frac{2}{\pi}}\delta = \frac{\alpha}{\sqrt{1+\alphaˆ2}}
Variance \omegaˆ2\left(1 - \frac{2\deltaˆ2}{\pi}\right)
Asymétrie (statistique) \frac{4-\pi}{2} \frac{\left(\delta\sqrt{2/\pi}\right)ˆ3}{  \left(1-2\deltaˆ2/\pi\right)ˆ{3/2}}
Kurtosis
(non-normalisé)
2(\pi - 3)\frac{\left(\delta\sqrt{2/\pi}\right)ˆ4}{\left(1-2\deltaˆ2/\pi\right)ˆ2}
Fonction génératrice des moments \exp\left(\mu\,t+\sigmaˆ2 \frac{tˆ2}{2}\right)\Phi(\sigma\delta t)
Fonction caractéristique \exp\left(\mu\,i\,t-\frac{\sigmaˆ2 tˆ2}{2}\right)(1+i\,\mathrm{erf}(\frac{\sigma\delta t}{\sqrt2}))

En théorie des probabilités et en statistiques, la distribution normale asymétrique est une distribution de probabilité continue qui généralise la distribution normale en introduisant une asymétrie non nulle.

Définition

Soit φ (x) la densité de probabilité de la loi normale centrée réduite

\phi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}eˆ{-\frac{xˆ2}{2}}

avec sa fonction de répartition donnée par

\Phi(x) = \int_{-\infty}ˆ{x} \phi(t)\ dt = \frac{1}{2} \left[ 1 + \text{erf} \left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)\right].

Alors la densité de probabilité de la distribution normale asymétrique de paramètre α est donnée par

f(x) = 2\phi(x)\Phi(\alpha x). \,

Pour ajouter un paramètre de position et un paramètre d'échelle à cela, on utilise la transformation usuelle x\mapsto \frac{x-\xi}{\omega}. On peut vérifier qu'on retrouve une distribution normale quand α = 0, et que la valeur absolue de l'asymétrie augmente quand la valeur absolue de α augmente. La distribution est asymétrique vers la droite si α > 0 et est asymétrique vers la gauche si α < 0. La densité de probabilité avec un paramètre de position ξ, un paramètre d'échelle ω, et un paramètre d'asymétrie α devient

f(x) = \left(\frac{2}{\omega}\right)\phi\left(\frac{x-\xi}{\omega}\right)\Phi\left(\alpha \left(\frac{x-\xi}{\omega}\right)\right).  \,

Estimation

L'estimateur du maximum de vraisemblance pour ξ, ω, et α peut être calculé numériquement, mais il n'existe pas d'expression directe des estimateurs sauf si α = 0. Si on a besoin d'une expression explicite, la méthode des moments peut être appliquée pour estimer α à partir de l'asymétrie empirique de l'échantillon, en inversant l'équation d'asymétrie. Cela donne l'estimateur

|\delta| = \sqrt{\frac{\pi}{2}} \frac{  |\hat{\gamma}_3|ˆ{\frac{1}{3}}  }{\sqrt{|\hat{\gamma}_3|ˆ{\frac{2}{3}}+((4-\pi)/2)ˆ\frac{2}{3}}}

\delta = \frac{\alpha}{\sqrt{1+\alphaˆ2}}, et \hat{\gamma}_3 est l'asymétrie empirique. Le signe de δ est le même que celui de \hat{\gamma}_3. Donc, \hat{\alpha} = \delta/\sqrt{1-\deltaˆ2}.


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Références

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