Loi triangulaire

En théorie des probabilités, une loi triangulaire est une loi de probabilité dont la fonction de densité est affine de son minimum à son mode et de son mode à son maximum.



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Loi de probabilité - Statistiques

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En théorie des probabilités, une loi triangulaire est une loi de probabilité dont la fonction de densité est affine de son minimum à son mode et de son mode à son maximum. Elle est mentionnée sous deux versions : une loi discrète et une loi continue.

Version discrète

La loi triangulaire discrète de paramètre entier positif a est définie pour tout entier x compris entre a et a par :
P(x) = \frac{a+1-|x|}{(a+1)ˆ2}.

Version continue

Triangulaire
Densité de probabilité / Fonction de masse
Densité de la loi triangulaire
Fonction de répartition
Fonction de répartition de la loi triangulaire

Paramètres a:∼a\in (-\infty,\infty)
<img class=
Support a \le x \le b \!
Densité de probabilité (fonction de masse) 
                \left\{
                  \begin{matrix}
                    \frac{2(x-a)}{(b-a)(c-a)} & \mathrm{pour\ } a \le x \le c \\ & \\
                    \frac{2(b-x)}{(b-a)(b-c)} & \mathrm{pour\ } c \le x \le b 
                  \end{matrix}
                \right.
Fonction de répartition 
                \left\{
                  \begin{matrix}
                    \frac{(x-a)ˆ2}{(b-a)(c-a)} & \mathrm{pour\ } a \le x \le c \\ & \\
                    1-\frac{(b-x)ˆ2}{(b-a)(b-c)} & \mathrm{pour\ } c \le x \le b 
                  \end{matrix}
                \right.
Espérance \frac{a+b+c}{3}
Médiane (centre) 
                \left\{
                  \begin{matrix}
                    a+\frac{\sqrt{(b-a)(c-a)}}{\sqrt{2}} & \mathrm{pour\ } c\!\ge\!\frac{b\!-\!a}{2}\\ & \\
                    b-\frac{\sqrt{(b-a)(b-c)}}{\sqrt{2}} & \mathrm{pour\ } c\!\le\!\frac{b\!-\!a}{2} 
                  \end{matrix}
                \right.
Mode c\,
Variance \frac{aˆ2+bˆ2+cˆ2-ab-ac-bc}{18}
Asymétrie (statistique) 
              \frac{\sqrt 2 (a\!+\!b\!-\!2c)(2a\!-\!b\!-\!c)(a\!-\!2b\!+\!c)}{5(aˆ2\!+\!bˆ2\!+\!cˆ2\!-\!ab\!-\!ac\!-\!bc)ˆ\frac{3}{2}}
Kurtosis
(non-normalisé)
-\frac{3}{5}
Entropie \frac{1}{2}+\ln\left(\frac{b-a}{2}\right)
Fonction génératrice des moments 2\frac{(b\!-\!c)eˆ{at}\!-\!(b\!-\!a)eˆ{ct}\!+\!(c\!-\!a)eˆ{bt}}
{(b-a)(c-a)(b-c)tˆ2}
Fonction caractéristique -2\frac{(b\!-\!c)eˆ{iat}\!-\!(b\!-\!a)eˆ{ict}\!+\!(c\!-\!a)eˆ{ibt}}
{(b-a)(c-a)(b-c)tˆ2}

Caractérisation

La loi triangulaire continue sur le support [a;b] et de mode c est définie par la densité suivante sur [a, b] :

f \colon x \mapsto \begin{cases} \displaystyle\frac{2(x-a)}{(b-a)(c-a)} & \mbox{ si } a \le x \le c \\ \\
 \displaystyle\frac{2(b-x)}{(b-a)(b-c)} & \mbox{ si } c \le x \le b \\ \\ 0 & \mbox{ sinon}\end{cases}

Dans de nombreux domaines, la loi triangulaire est reconnue comme une version simplifiée de la Loi bêta.

Liens avec la loi uniforme

Soit X1, X2 deux variables indépendamment et semblablement distribuées selon une loi uniforme standard. Alors :


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La version présentée ici à été extraite depuis cette source le 07/04/2010.
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