Loi uniforme continue

Dans la Théorie des probabilités et en statistiques, la loi uniforme continue est une famille de lois de probabilité telle que l'ensemble des intervalles de même longueur du support ont même probabilité.



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Loi de probabilité - Statistiques

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  • loi uniforme continue et discrète.... La fonction de répartition montre un accroissement linéaire entre a et b. L'espérance est de (a + b) / 2, ... (source : jybaudot)
Uniforme
Densité de probabilité / Fonction de masse
Densité de la loi uniforme standard
Fonction de répartition
Fonction de répartition de la loi uniforme standard

Paramètres a,b \in (-\infty,\infty) \,\!
Support a \le x \le b \,\!
Densité de probabilité (fonction de masse) <img class=Fonction de répartition 
    \begin{matrix}
    0 & \mbox{pour }x < a \\
    \frac{x-a}{b-a} & ∼∼∼∼∼ \mbox{pour }a \le x < b \\
    1 & \mbox{pour }x \ge b
    \end{matrix}
     \,\!
Espérance \frac{a+b}{2} \,\!
Médiane (centre) \frac{a+b}{2} \,\!
Mode toute valeur dans [a,b] \,\!
Variance \frac{(b-a)ˆ2}{12} \,\!
Asymétrie (statistique) 0 \,\!
Kurtosis
(non-normalisé)
\frac{9}{5} \,\!
Entropie \ln(b-a) \,\!
Fonction génératrice des moments \frac{eˆ{tb}-eˆ{ta}}{t(b-a)} \,\!
Fonction caractéristique \frac{eˆ{itb}-eˆ{ita}}{it(b-a)} \,\!

Dans la Théorie des probabilités et en statistiques, la loi uniforme continue est une famille de lois de probabilité telle que l'ensemble des intervalles de même longueur du support ont même probabilité.

La loi uniforme continue est une généralisation de la fonction rectangle à cause de la forme de sa fonction densité de probabilité. Elle est paramétrée par les plus petites et plus grandes valeurs a et b que la variable aléatoire uniforme peut prendre. Cette loi continue est fréquemment notée U (a, b).

Caractérisation

Densité

La densité de probabilité est :


  f(x)=\left\{\begin{matrix}
  \frac{1}{b - a} & \ \ \ \mbox{pour }a \leq x \leq b, \\  \\
  0 & \mathrm{sinon}.
  \end{matrix}\right.


Fonction de répartition

La Fonction de répartition est donnée par


  F(x)=\left\{\begin{matrix}
  0 & \mbox{pour }x < a \\  \\
  \frac{x-a}{b-a} & \ \ \ \mbox{pour }a \le x < b \\  \\
  1 & \mbox{pour }x \ge b
  \end{matrix}\right.
 \,\!

Fonctions génératrices

Fonction génératrice des moments

La Fonction génératrice des moments est


M_x = E[eˆ{tx}] = \frac{eˆ{tb}-eˆ{ta}}{t(b-a)} \,\!

qui sert à calculer l'ensemble des moments non centrés, m k :

m_1=\frac{a+b}{2}, \,\!
m_2=\frac{aˆ2+ab+bˆ2}{3}, \,\!
m_k=\frac{1}{k+1}\sum_{i=0}ˆk aˆibˆ{k-i}. \,\!

Ainsi, pour une Variable aléatoire suivant cette loi, l'espérance est alors m1 = (a + b) /2 et la variance est m2 − m12 = (b − a) 2/12.

Fonction génératrice des cumulants

Pour n ≥ 2, le n-ième cumulant de la loi uniforme sur l'intervalle [0,  1] est bn/n, où bn est le n-ième Nombre de Bernoulli.

Propriétés

Généralisation à des tribus boréliennes

La loi uniforme se généralise à des ensembles plus complexes que les intervalles. Si S est un borélien de mesure finie non nulle, la loi uniforme sur S est spécifiée en définissant une densité nulle sur l'extérieur de S et égale à la constante 1/K sur S, où K est la mesure de Lebesgue de S.

Statistiques d'ordre

Soit X1, ..., Xn un échantillon i. i. d. issu de la loi U (0, 1). Soit X (k) la k-ième Statistique d'ordre de l'échantillon. Alors, la distribution de X (k) est une Loi bêta de paramétres k et n − k + 1. L'espérance est

\operatorname{E}[X_{(k)}] = {k \over n+1}.

Ce fait est utile quand on construit une Droite de Henry.

Les variances sont

\operatorname{Var}(X_{(k)}) = {k (n-k+1) \over (n+1)ˆ2 (n+2)} .

L'aspect uniforme

La probabilité qu'une variable uniforme tombe dans un intervalle donné est indépendante de la position de cet intervalle, mais dépend uniquement de sa longueur, à condition que cet intervalle soit inclus dans le support de la loi. Ainsi, si X ≈ U (0, b) et que [x, x+d] est un sous-intervalle de [0, b], avec d > 0 fixé, alors


  P\left(X\in\left [ x,x+d \right ]\right) 
  = \int_{x}ˆ{x+d} \frac{\mathrm{d}y}{b-a}\,
  = \frac{d}{b-a} \,\!

qui est indépendant de x. Ce fait motive l'expression de cette loi.

Loi uniforme standard

Le cas spécifique a = 0 et b = 1 donne naissance à la loi uniforme standard, aussi notée U (0, 1). Il faut noter le fait suivant : si u1 est distribué selon une loi uniforme standard, alors c'est aussi le cas pour u2 = 1-u1.

Distributions associées

Le théorème suivant[1] stipule que toutes les distributions sont liées à la loi uniforme :

Pour une variable aléatoire de fonction de répartition F, on note G sa pseudo-inverse : G(\omega)=\inf\left\{x\in\mathbb{R}\ |\ F(x)\ge\omega\right\}. Si sert à désigner une variable aléatoire réelle uniforme sur [0, 1], alors a pour fonction de répartition.

Bref, pour obtenir des tirages (indépendants) selon la loi caractérisée par F, il suffit d'inverser cette fonction et de l'appliquer à des tirages (indépendants) uniformes.

Voici quelques exemples de cette loi :


Applications

En Statistiques, quand une P-value est utilisée dans une procédure de test statistique pour une Hypothèse nulle simple, et que la distribution du test est continue, alors la p-value est uniformément distribuée selon la loi uniforme sur [0;1] si l'hypothèse nulle est vérifiée.

Obtenir des réalisations de la loi uniforme

Article détaillé : Générateur de nombres pseudo-aléatoires.

La plupart des langages de programmation fournissent un générateur de pseudo-nombres aléatoires, dont la distribution est effectivement la loi uniforme standard.

Si u est U (0;1), alors v = a + (ba) u suit la loi U (a;b).

Obtenir des réalisations d'une loi continue quelconque

Article détaillé : Méthode de la transformée inverse.

D'après le théorème cité plus haut, la loi uniforme permet en principe d'obtenir des tirages de toute loi continue à densité. Il suffit pour cela d'inverser la Fonction de répartition de cette loi, et de l'appliquer à des tirages de la loi uniforme standard. Malheureusement, dans bien des cas pratiques, on ne dispose pas d'une expression analytique pour la fonction de répartition; on peut alors utiliser une inversion numérique (coûteuse en calculs) ou des méthodes concurrentes, comme la Méthode de rejet.

Principal exemple d'échec de la méthode de la transformée inverse est la Loi normale. Cependant, la Méthode de Box-Muller apporte une méthode pratique pour transformer un échantillon uniforme en un échantillon normal, et ce de manière exacte[2].

Références

  1. voir l'article détaillé ici
  2. Plus précisément, la méthode nécessite deux tirages indépendants U (0;1) pour apporter deux tirages normaux indépendants.

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