Loi uniforme discrète

En théorie des probabilités, la loi discrète uniforme est une loi de probabilité discrète indiquant une probabilité de se réaliser semblable à chaque valeur d'un ensemble fini de valeurs envisageables.



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Loi de probabilité - Statistiques

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Loi uniforme discrète
Densité de probabilité / Fonction de masse
Discrete uniform probability mass function for n=5
n=5 où n = ba + 1
Fonction de répartition
Discrete uniform cumulative mass function for n=5
n=5 où n = ba + 1. Par convention la fonction de répartition (de masse) Fk (ki) est la probabilité que k \ge k_i

Paramètres a \in (...,-2,-1,0,1,2,...)\,
b \in (...,-2,-1,0,1,2,...)\,
n=b-a+1\,
Support k \in \{a,a+1,..-1,b\}\,
Densité de probabilité (fonction de masse) 
    \begin{matrix}
    \frac{1}{n} & \mbox{pour }a\le k \le b\ \\0 & \mbox{sinon }
    \end{matrix}
Fonction de répartition <img class=Espérance \frac{a+b}{2}\,
Médiane (centre) a+n/2\,
Mode N/A
Variance \frac{nˆ2-1}{12}\,
Asymétrie (statistique) 0\,
Kurtosis
(non-normalisé)
\frac{9(nˆ2+1)}{5(nˆ2-1)}\,
Entropie \ln(n)\,
Fonction génératrice des moments \frac{eˆ{at}}{n}\sum_{k=0}ˆ{n-1}eˆ{kt}\,
Fonction caractéristique \frac{eˆ{iat}}{n}\sum_{k=0}ˆ{n-1}eˆ{ikt}\,

En théorie des probabilités, la loi discrète uniforme est une loi de probabilité discrète indiquant une probabilité de se réaliser semblable (équiprobabilité) à chaque valeur d'un ensemble fini de valeurs envisageables.

Une variable aléatoire qui peut prendre n valeurs envisageables k1, k2, ..., kn équiprobables, suit une loi uniforme quand la probabilité de n'importe quelle valeur ki  est égale à 1/n.

Un exemple simple de loi discrète uniforme est le lancer d'un dé honnête. Les valeurs envisageables de k sont 1, 2, 3, 4, 5, 6; ainsi qu'à chaque fois que le dé est lancé, la probabilité d'un score donné est égale à 1/6.

Dans le cas où les valeurs d'une variable aléatoire suivant une loi discrète uniforme sont réelles, il est envisageable d'exprimer la fonction de répartition en termes de distribution déterministe  ; ainsi

F(k;a,b,n)={1\over n}\sum_{i=1}ˆn H(k-k_i)

H (x-x0) sert à désigner la fonction marche de Heaviside, est la fonction de répartition (ou distribution cumulative) de la distribution déterministe centrée en x0, aussi nommée masse de Dirac en x0. Cela suppose que les hypothèses suffisantes soient vérifiées aux points de transition.

Cas général

Une variable aléatoire X prenant l'ensemble des valeurs envisageables d'un ensemble A (de cardinal #A=n) avec équiprobabilité sera dite uniforme sur A.

Cas spécifique important

La table ci-contre concerne la loi uniforme sur un ensemble de n entiers consécutifs, qui n'est qu'un cas spécifique de loi uniforme, mais un cas spécifique important : cela correspond à

\ A\ =\ [\![a,b]\!],\qquad n=b-a+1.

Calcul de probabilités et d'espérance (cas général)

Si X suit la loi uniforme sur un ensemble fini A, on dit quelquefois que la loi de X est On note

\ \mathbb{P}(X=x)\ =\ \mathbb{U}_A(\{x\})\ =\ \frac{1\!\!1_A(x)}{\#A},\

où sert à désigner la fonction indicatrice de la totalité A. D'un point de vue pratique,

\ \mathbb{P}(X\in B)\ =\ \sum_{x\in B}\,\frac{1\!\!1_A(x)}{\#A}\ =\ \frac{\#(A\cap B)}{\#A}.

Pour une fonction φ définie sur A, à valeurs réelles, on a :

\ \mathbb{E}\left[\phi(X)\right]\ =\ \frac{1}{\#A}\sum_{x\in A}\,\phi(x).

L'espérance de φ (X) est par conséquent la valeur moyenne de φ sur A. En utilisant les notations classiques de théorie de la mesure, on traduira cela par :

\ \mathbb{P}_X\ =\ \mathbb{U}_A\ =\ \frac{1}{\#A}\sum_{x\in A}\,\delta_x,

δx sert à désigner la masse de Dirac en x, qui a pour fonction de répartition la fonction marche de Heavyside évoquée.

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