Modèle de Verhulst

En dynamique des populations, le modèle de Verhulst est un modèle de croissance proposé par Pierre François Verhulst vers 1840.



Catégories :

Écologie des populations - Équation différentielle - Démographie - Statistiques

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En dynamique des populations, le modèle de Verhulst est un modèle de croissance proposé par Pierre François Verhulst vers 1840 [1]. Verhulst a proposé ce modèle en réponse au modèle de Malthus qui proposait un taux d'accroissement constant sans frein conduisant à une croissance exponentielle de la population.

Le modèle de Verhulst imagine que le taux de natalité et le taux de mortalité sont des fonctions affines respectivement décroissante et croissante de la taille de la population. C'est à dire, plus la taille de la population augmente, plus son taux de natalité diminue et son taux de mortalité augmente. Verhulst pose d'autre part que, quand les populations sont de petites tailles, elles ont tendance à croître.

Le même modèle est utilisable pour des réactions autocatalytiques, dans lesquelles l'augmentation des individus touchés est proportionnelle à la fois au nombre d'individus déjà touchés et au nombre d'individus qui peut toujours être touchés.

Ce modèle conduit, en temps continu, à une fonction logistique et en temps discret à une suite logistique dont la particularité est d'être, dans certaines circonstances, chaotique

Mise en place mathématique

Si on appelle

la taille de la population suit l'équation différentielle

\frac{dy}{dt}= y\left(n(y) - m(y)\right)

Si m et n sont des fonction affines respectivement croissante et décroissante alors n - m est une fonction affine décroissante. Si d'autre part, pour y tendant vers 0, la croissance est positive, l'équation peut s'écrire

\frac{dy}{dt}= y(a-by)\, avec a et b deux réels positifs

Puis, en posant K=a/b, l'équation devient

\frac{dy}{dt}= ay\left(1-\frac yK\right) avec a > 0 et K > 0

Une observation immédiate montre que

Le paramètre K est nommé la capacité d'accueil.

Le modèle auto-catalytique conduit à la même équation (accroissement proportionnel à la population touchée ainsi qu'à la population restante)

\frac{dy}{dt}= \alpha y (K- y) = \alpha Ky\left(1-\frac yK\right)

Résolution en temps continu

Article détaillé : fonction logistique (Verhulst) .

La recherche des fonctions strictement positives définies sur [0; + \infty[ et vérifiant le dispositif

Conduit à la solution logistique

y(t) = K\dfrac{1}{1+\left(\dfrac K{y_0}-1\right)eˆ{-at}}

Où on observe que la population tend vers la capacité d'accueil K, qu'elle est croissante si la population d'origine est inférieure à la population d'accueil et décroissante sinon.

Résolution en temps discret

Article détaillé : suite logistique.

En temps discret, le modèle se transforme en

 u_{n+1} - u_n = au_n\left(1-\frac{u_n}{K}\right)

Puis, en posant

la relation de récurrence devient

 v_{n+1}=\mu v_n (1 - v_n)\,

C'est sous cette forme qu'elle est étudiée comme suite logistique. Cette suite, quoique particulièrement simple par son expression, peut conduire à des résultats particulièrement variés ; son comportement fluctue suivant les valeurs de μ :

Voir aussi

Sources

Liens externes

Notes et références

  1. On trouve selon les sources 1838, 1844[2] ou 1846 [3]

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