Modèle des urnes d'Ehrenfest

Le modèle des urnes est un modèle stochastique introduit en 1907 par les époux Ehrenfest pour illustrer certains des «paradoxes» apparus dans les fondements de la mécanique statistique naissante.

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Processus stochastique - Physique statistique - Statistiques

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dans l'urne A (avec évidemment la contrainte que le nombre de boules dans l'urne A doit être 4).... Vérifiez que dans le mod`ele de Ehrenfest (avec m boules et avec..... π0 solutionne bien cette relation de récurrence. Bref, on a par conséquent... (source : newton.mat.ulaval)
d'actions, piocher des boules dans les urnes ou au contraire placer des boules au sein de ces urnes. Deux modèles nous intéressent spécifiquement... (source : imprimerie.polytechnique)

Le modèle des urnes est un modèle stochastique introduit en 1907 par les époux Ehrenfest pour illustrer certains des «paradoxes» apparus dans les fondements de la mécanique statistique naissante^[1]. Peu de temps en effet après que Boltzmann eut publié son théorème H, des critiques virulentes furent formulées, surtout par Loschmidt, puis par Zermelo, Boltzmann étant accusé de pratiquer des «mathématiques douteuses».

Ce modèle est quelquefois aussi nommé le «modèle des chiens et des puces^[2]». Le mathématicien Mark Kac a rédigé à son propos qu'il était :

«... certainement l'un des modèles les plus instructifs de toute la physique...»

Le modèle des urnes

Définition du modèle stochastique

On considère deux urnes A et B, mais aussi N boules, numérotées de 1 à N. Originellement, l'ensemble des boules se trouvent dans l'urne A. Le processus stochastique associé est construit de la façon suivante :

A l'instant $t 0 = 0$ , on tire au hasard un numéro i compris entre 1 et N, et on transfère la boule n°i de l'urne A vers l'urne B.

A l'instant t₁ = 1, on tire à nouveau au hasard un numéro j compris entre 1 et N.
- Si la boule n°j est dans l'urne A, on la transfère dans l'urne B.
- Si la boule n°j est dans l'urne B, on la transfère dans l'urne A.

Et ainsi de suite...

Dynamique du modèle

N = 500 boules ; 10000 tirages.

Dans ce modèle, on suit au cours du temps t (discret) le nombre total de boule n (t) présentes dans l'urne A. On obtient une courbe qui part originellement de n (0) =N et débute par décroître vers la valeur moyenne N/2, comme on pourrait s'y attendre pour un «bon» dispositif thermodynamique originellement hors d'équilibre et relaxant spontanément vers l'équilibre.

N = 4 boules ; 100 tirages. Les fluctuations autour de la moyenne sont importantes quand N est petit, et les récurrences à l'état d'origine sont spécifiquement visibles.

Mais cette décroissance est irrégulière : il existe des fluctuations autour de la valeur moyenne N/2, qui peuvent devenir quelquefois particulièrement importantes (ceci est spécifiquement visible quand N est petit).

En particulier, quel que soit le nombre de boules N fini, il existe toujours des récurrences à l'état d'origine, pour lesquelles toutes les boules reviennent dans l'urne A après une durée finie. Mais, comme le temps moyen entre deux récurrences consécutives croit particulièrement rapidement avec N, ces récurrences ne nous apparaissent pas quand N est particulièrement grand (typiquement en physique statistique, N est de l'ordre de grandeur du nombre d'Avogadro).

Version «modèle des chiens et des puces»

Dans cette version, les deux urnes sont remplacées par deux chiens, et les N boules par N puces, sautant d'un chien à l'autre.

Récurrences & théorème de Kac (1947)

Récurrences à l'état initial

Il existe des récurrences à l'état d'origine, caractérisées par une suite dénombrable d'instants $\{ t_n \}_{n=1, 2, \dots }$ finis pour lesquels toutes les boules reviennent dans l'urne A, c'est-à-dire qu'on a : $n (t n) = N$ (par convention, on pose $t 0 = 0$ ). On peut alors définir une nouvelle suite dénombrable $τ n = t n - t n - 1$ des durées finies entre deux récurrences consécutives.

Théorème de Kac (1947)

Il est envisageable de calculer la durée moyenne entre deux récurrences à l'état d'origine consécutives :

$\langle \ \tau \ \rangle \ = \ \lim_{p \to \infty} \ \frac{1}{p} \ \sum_{n=1}ˆp \ \tau_n$

On a le théorème suivant [Kac - 1947] :

$\langle \ \tau \ \rangle \ = \ 2ˆN$

De plus, on peut montrer que la dispersion des durées autour de leur valeur moyenne, caractérisée par l'écart-type $σ$ , est du même ordre de grandeur :

$\sigma \ = \ \sqrt{ \ \lim_{p \to \infty} \ \frac{1}{(p - 1)} \ \sum_{n=1}ˆp \ \left[ \, \tau_n \, - \, \langle \ \tau \ \rangle \, \right]ˆ2 \ } \ \sim \ \langle \ \tau \ \rangle$

Voir par exemple [Kac-1957].

Exemples de simulations numériques

N = 4 boules ; 100 tirages. Les récurrences à l'état d'origine sont particulièrement habituelles.

Les grandes fluctuations relatives autour de la moyenne deviennent de moins en moins habituelles pour une durée donnée quand le nombre N de boules augmente.

N = 8 boules ; 100 tirages. Les récurrences à l'état d'origine semblent moins habituelles sur la même durée.

N = 8 boules ; 1000 tirages. Les récurrences à l'état d'origine restent en fait habituelles sur une plus longue durée.

N = 12 boules ; 1000 tirages.

N = 50 boules ; 1000 tirages.

N = 500 boules ; 1000 tirages.

Solution exacte

Voir par exemple : [Kac-1947] et : [Kac-1957]

Lien avec une marche aléatoire

Le modèle des urnes d'Ehrenfest est formellement comparable à une marche aléatoire non isotrope sur le réseau $\mathbb{Z}$ , dont la limite continue converge vers le mouvement brownien d'une particule élastiquement liée. En termes probabilistes on parle de convergence vers le processus d'Ornstein-Uhlenbeck, processus stochastique défini par l'équation différentielle stochastique :

$dx_t = \theta (\mu-x_t)\,dt + \sigma\, dW_t.\,$

Voir par exemple : [Kac-1947] et : [Kac-1957]

Bibliographie

Paul Ehrenfest & Tatiana Ehrenfest ; Ueber zwei bekannte Eingewände gegen das Boltzmannsche H-Theorem, Zeitschrift für Physik 8 (1907), 311-314.

Mark Kac ; Random Walk and the Theory of Brownian Motion, American Mathematical Monthly 54 (7) (1947), 369-391. Texte au format pdf. Cet article fait partie des six contenus dans : Selected Papers on Noise & Stochastic Processes, Charles Proteus Steinmetz & Nelson Wax (eds. ), Dover Publishing, Inc. (1954). Réédité dans la collection Phœnix (2003), ASIN 0486495353.

Mark Kac ; Probability and Related Topics in Physical Science, Lectures in Applied Mathematics Series 1a, American Mathematical Society (1957), ISBN 0821800477.

Gérard Emch & Chuang Liu ; The logic of thermo-statistical physics, Springer-Verlag (2002), ISBN 3-540-41379-0.

Enrico Scalas, Edgar Martin & Guido Germano ; The Ehrenfest urn revisited : Playing the game on a realistic fluid model, Physical Review E 76 (2007), 011104. ArXiv : cond-mat/0512038

Notes

↑ Pour une revue des fondements conceptuels de la mécanique statistique à cette époque, on pourra lire l'article classique (paru originellement en allemand en 1912) : Paul & Tatiana Ehrenfest ; The Conceptual Foundations of the Statistical Approach in Mechanics, Dover, Inc. (1990), ISBN 0-486-66250-0. Niveau second cycle universitaire.
↑ Selon l'anglais «dog-flea model».

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