Modèle sigma non-linéaire

En théorie quantique des champs un modèle sigma non-linéaire sert à désigner une théorie dans laquelle les champs fondamentaux représentent des coordonnées dans une variété riemannienne nommée espace-cible.

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Physique statistique - Statistiques - Physique théorique

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En théorie quantique des champs un modèle sigma non-linéaire sert à désigner une théorie dans laquelle les champs fondamentaux représentent des coordonnées dans une variété riemannienne nommée espace-cible. Ensemble ils forment un plongement depuis l'espace sur lequel ils vivent (par exemple l'espace de Minkowski) vers l'espace-cible.

Définition

Dans le cas le plus simple on considère que l'espace sur lequel vivent les champs de la théorie est l'espace de Minkowki $\mathcal{M}\,$ . Ses coodonnées sont notées par un indice grec $\mu=0,1,2,n-1\,$ avec $n\,$ la dimension de l'espace (pas obligatoirement égal à quatre).

Si on note $\mathcal{T}\,$ l'espace-cible et $\Sigma :\mathcal{M}\rightarrow\mathcal{T} \,$ le plongement alors le lagrangien de la théorie s'écrit

$\mathcal{L}={1\over 2}g(\partialˆ\mu\Sigma,\partial_\mu\Sigma)-V(\Sigma)$

où $V\,$ est un potentiel arbitraire.

En choisissant des coordonnées $\Sigmaˆa\,$ sur l'espace-cible et $g_{ab}\,$ les composantes de la métrique alors on peut réécrire le lagrangien comme

$\mathcal{L}={1\over 2}g_{ab}(\Sigma) \partialˆ\mu \Sigmaˆ{a} \partial_\mu \Sigmaˆ{b} - V(\Sigma).$

Si l'espace-cible est lui aussi l'espace de Minkowski, alors cette action est celle d'une simple théorie des champs pourvue d'un potentiel $V\,$ .

Propriétés

Si la dimension de l'espace de départ est supérieure à deux alors le modèle n'est pas renormalisable généralement. Il n'est par conséquent pas bien défini du point de vue quantique et possède par conséquent uniquement le statut de théorie effective d'une autre théorie quantique bien définie complétant celle-ci aux échelles plus petite que la courbure de l'espace-cible (cette discussion ne tient pas compte des propriétés du potentiel qui peut lui aussi briser la renormalisabilité).

Applications

En physique nucléaire le modèle chiral, qui est phénoménologique, décrit les mésons sans faire mention des quarks (du point de vue de la théorie de l'interaction forte cela correspond à prendre la limite où les masses des quarks tendent vers zéro). C'est un modèle sigma non-linéaire dont l'espace-cible est le groupe de Lie $SU(N)\,$ où $N\,$ est le nombre de saveurs.

Ce type de théorie est aussi fréquemment utilisé en physique statistique et en physique théorique et ce spécifiquement en théorie des cordes qui est définie perturbativement comme un modèle sigma non-linéaire renormalisable en deux dimensions.

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