Modèle XY

Le modèle XY ou modèle planaire est un modèle étudié en mécanique statistique. Il décrit un dispositif dont les degrés de liberté sont des vecteurs bidimensionnels de norme unité positionnés aux nœuds d'un réseau.



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Physique statistique - Statistiques

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  • Thouless du modèle XY 2D classique, montrer que la chaîne de JJ a une transition de phase quantique. (i. e. à T = 0) entre une phase supraconductrice et une... (source : lps.u-psud)
  • Cette page contient les information de référence sur transition de phase :.... la transition Berezinsky-Kosterlitz-Thouless dans le modèle XY à deux dimensions. Ce modèle sert à décrire de nombreuses transitions de phase quantiques... (source : dictionnaire.sensagent)

Le modèle XY ou modèle planaire est un modèle étudié en mécanique statistique. Il décrit un dispositif dont les degrés de liberté sont des vecteurs bidimensionnels \mathbf{S}_i de norme unité positionnés aux nœuds d'un réseau. Ces vecteurs peuvent être représentés au moyen d'une variable angulaire φi sous la forme : \mathbf{S}_i=(\cos \phi_i,\sin\phi_i). En termes de la variable angulaire le Hamiltonien du modèle XY a une forme spécifiquement simple :

H=-J \sum_{\langle i,j \rangle} cos (\phi_i -\phi_j),

\langle i, j \rangle indique que la somme est restreinte aux sites plus proches voisins. Ce modèle possède bien entendu une symétrie globale SO(2)\equiv U(1).


Pour J > 0, le modèle XY est dit ferromagnétique. Son état de plus basse énergie est tel que \phi_i=\phi, \forall i. Pour J < 0, le modèle est dit antiferromagnétique. Sur un réseau bipartite, le modèle antiferromagnétique se ramène au modèle ferromagnétique. Sur un réseau non-bipartite comme le réseau triangulaire, le modèle est antiferromagnétique est dit frustré : il n'est pas envisageable de trouver un état qui minimise les interactions pour l'ensemble des paires de sites premier voisins. L'étude des modèles XY frustrés doit se faire au cas par cas, l'état de plus basse énergie dépendant du réseau spécifique reconnu. Dans la suite de cet article, nous ne discutons que le cas ferromagnétique.

Dans le modèle XY en dimension 3, il existe une transition de phase entre une phase de basse température où \langle \mathbf{S}_i\rangle \ne \mathbf{0} et la symétrie globale U (1) est brisée, et une phase de haute température où \langle \mathbf{S}_i\rangle = \mathbf{0} et la symétrie globale U (1) est rétablie. \langle \mathbf{S}_i\rangle est en fait le paramètre d'ordre de cette transition de phase. Cette transition de phase est une transition du second ordre. La transition de phase du modèle XY décrit le point de Curie des dispositifs ferromagnétiques avec une anisotropie plan facile. Comme la symétrie brisée dans le modèle XY (U (1) ) est la même que dans la transition superfluide-normal de l'Hélium 4 et dans la transition supraconducteur-métal normal, ces deux transitions de phase sont dans la classe d'universalité du modèle XY et partagent par conséquent les mêmes exposants critiques. Il faut cependant noter que pour les supraconducteurs conventionnels, la région dans laquelle les exposants critiques du modèle XY sont observables (donnée par le critère de Ginzburg) est extrêmement étroite. Il en résulte que seuls les exposants donnés par la théorie de champ moyen sont observables dans ces dispositifs. Dans le cas des supraconducteurs à haute température, la situation est plus favorable et des expériences ont mis en évidence les exposants critiques du modèle XY.

En dimension 2, la situation est plus complexe. Dans un premier temps, le théorème de Mermin-Wagner dit qu'il est impossible en dimension 2 de briser une symétrie continue telle que U (1) . Donc, le modèle XY a  \mathbf{S}_i=\mathbf{0} à toute température. Néanmoins, les calculs de série haute température indiquent que ce modèle doit cependant posséder une transition de phase en dessous d'une certaine température. Cette transition est nommée transition Berezinsky-Kosterlitz-Thouless du nom des théoriciens qui ont élucidé son mécanisme. Cette transition se définit par un changement du comportement des fonctions de corrélation qui passent d'une décroissance algébrique à basse température (on parle de quasi-ordre à longue distance) à une décroissance exponentielle au-dessus d'une température TBKT. A la transition, l'énergie libre et ses dérivées sont de classe Cˆ\infty mais ne sont pas analytiques.

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