Moment

En probabilités, on définit le moment d'ordre n>0 d'une variable aléatoire X, s'il existe, le nombre.



Catégories :

Analyse réelle - Probabilités - Statistique descriptive - Statistiques

Définitions :

  • Un instant; En physique, une force appliquée autour d'un axe. (force de rotation) ; Le moment comparé au point O d'une force s'exerçant au... (source : fr.wiktionary)

En probabilités (mathématiques, statistiques), on définit le moment d'ordre n>0 d'une variable aléatoire X, s'il existe, le nombre m_n = \mathbb{E}[∼Xˆn∼] \,.

Notion de moment

La notion de moment en mathématiques, surtout en calcul des probabilités, a comme origine la notion de moment en physique.

Soit une fonction f : I \to \R continue sur un intervalle I (non réduit à un point) de \R. Étant donné un entier naturel n, le n-ième moment de f est défini (sous réserve d'existence) par :

m_n(f)=\int_I xˆn\,f(x)\,dx.

Remarque : pour un entier naturel n donné, la totalité des fonctions continues sur I dont le moment d'ordre n existe est un espace vectoriel réel, et l'application m_n : f \mapsto m_n(f) est une forme linéaire sur cet espace vectoriel.

Estimation des moments

Quand le moment existe, on utilise fréquemment l'estimateur suivant pour l'instant d'ordre k :

\hat mˆk= \frac{1}{n}\sum_{i = 1}ˆ{n} Xˆk_i\,\!

à partir de l'échantillon X_1, X_2, \cdots, X_n.

On peut montrer que cet estimateur est sans biais.

Moments centrés

On définit le moment centré d'ordre n>0 d'une variable aléatoire X, s'il existe, le nombre \mu_n = \mathbb{E}[∼(X-\mathbb{E}(X))ˆn∼] \,.

Moments remarquables

Certains moments sont connus sous un nom spécifique. Ils sont utilisés fréquemment pour caractériser une variable aléatoire.

Formules de détermination récursive des moments

En définissant

m_k(X) \equiv \mathbb{E}\left[Xˆk\right]\,

.

\mu_k(X) \equiv \mathbb{E}[(X-\mathbb{E}[X])ˆk]\,

Il existe des formules (qui ressemblent à celle du binôme) servant à calculer un moment centré d'ordre k à partir des moments ordinaires d'ordre inférieur ou égal à k, et réciproquement ; voici quelques exemples (jusqu'à l'ordre 4)  :

\mu_2 = m_2 - mˆ2_1\,
\mu_3 = m_3 -3\,m_1\,m_2 + 2\,mˆ3_1\,
\mu_4 = m_4 -4\,m_1\,m_3 + 6\,mˆ2_1\,m_2 - 3mˆ4_1\,\!
et :
m_2 = \mu_2 + mˆ2_1\,
m_3 = \mu_3 + 3\,m_1\mu_2 + mˆ3_1\,
m_4 = \mu_4 + 4\,m_1\mu_3 + 6\,mˆ2_1\mu_2 + mˆ4_1\,

Fonction génératrice des moments

Article détaillé : Fonction génératrice des moments.

La fonction génératrice des moments d'une variable aléatoire X, définie par

M_X(t) = \mathbb{E}\left(eˆ{tX}\right), \quad t \in \mathbb{R},

est utilisée pour générer les moments associés à la distribution de probabilités de la variable aléatoire X.

Problème des moments

On peut se demander si une fonction continue f : I \to \R dont l'ensemble des moments existent est déterminée ensuite de ses moments. Cette question est nommée problème des moments.

En d'autres termes : soient deux fonctions continues f, g : I \to \R dont chacune admet, pour tout entier naturel n, un moment d'ordre n. Si, pour tout n \in \mathbb{N},\; m_n(f)= m_n(g), peut-on affirmer que f = g ?

On démontre (par changement de variable) que pour tout entier naturel n, \int_0ˆ{+\infty} xˆn f(x) \sin(2 \pi \ln x)\, dx  = 0.
Pour tout \alpha \in \R, on définit g_\alpha :\, ]0,\, +\infty[\, \to \R par g_\alpha(x) = f(x)\, [1 + \alpha \sin(2 \pi \ln x)].
Alors : quels que soient \alpha \in \R et n \in \mathbb{N}, mn (gα) = mn (f) , quoique g_\alpha \neq f dès que \alpha \neq 0.


Nota : pour tout \alpha \in \R, \int_0ˆ{+\infty} g_\alpha(x)\, dx = 1 car m0 (gα) = m0 (f) . Or, si on prend \alpha \in [-1,\, +1], gα est à valeurs positives : dans ce cas, gα est une densité de probabilité portée par \Rˆ\star_+\,, différente de f si \alpha \neq 0, dont l'ensemble des moments existent et sont les mêmes que ceux de f. Ceci prouve que la loi log-normale n'est pas déterminée par ses moments.


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