Noyau

Un noyau est une fonction de pondération utilisée dans les techniques d'estimation non-paramétrique. Les noyaux interviennent dans l'Estimateur par noyau pour estimer la Densité de probabilité d'une Variable aléatoire, ou encore dans la régression...



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Statistiques

Un noyau est une fonction de pondération utilisée dans les techniques d'estimation non-paramétrique. Les noyaux interviennent dans l'Estimateur par noyau pour estimer la Densité de probabilité d'une Variable aléatoire, ou encore dans la régression paramétrique (à noyau) pour estimer des espérances conditionnelles. Pour les Séries temporelles, le noyau permet d'estimer la densité spectrale.


Définition

Un noyau est une fonction non-négative, intégrable ainsi qu'à valeurs réelles, notée K, qui doit vérifier les deux conditions suivantes :

La première condition assure que l'estimation à noyau soit bien une Densité de probabilité.

Si K est un noyau, alors il en ira de même pour K*, défini par K* (u) = λ−1K−1u), où λ > 0. Cette méthode sert à choisir une échelle adaptée aux données.

Les différents noyaux courants

Plusieurs types de noyaux sont fréquemment utilisés : uniforme, triangle, epanechnikov, quadratique, cubique, gaussien, et circulaire.

Ci-dessous, on note 1_{(p)}\,\! la fonction indicatrice qui vaut 1 quand p est vrai, 0 sinon.

Uniforme

K(u) = \frac{1}{2}\ 1_{(|u|\leq1)}

Triangle

K(u) = (1-|u|)\ 1_{(|u|\leq1)}

Epanechnikov

K(u) = \frac{3}{4}(1-uˆ2)\ 1_{(|u|\leq1)}

Quadratique

K(u) = \frac{15}{16}(1-uˆ2)ˆ2\ 1_{(|u|\leq1)}

Cubique

K(u) = \frac{35}{32}(1@uˆ2)ˆ3\ 1_{(|u|\leq1)}

Gaussien

K(u) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}eˆ{-\frac{1}{2}uˆ2}

Circulaire

K(u) = \frac{\pi}{4}\cos\left(\frac{\pi}{2}u\right)1_{(|u|\leq1)}

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