Opérateur retard

Dans l'analyse des Séries temporelles, l'opérateur retard, noté L, est l'opérateur qui, à tout élément d'une série temporelle, associe l'observation précédente.



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Économétrie - Statistiques

Page(s) en rapport avec ce sujet :

  • L'opérateur retard est linéaire : STT-3220; Méthodes de prévision... Réécriture des modèles ARMA avec l'opérateur retard. Posons :... (source : dms.umontreal)
  • où un modèle est pertinent.... Représentation fréquentielle d'un retard... Le lieux de transfert de l'opérateur retard est donc : e... (source : perso.ensil.unilim)
  • Elle illustre aussi l'emploi du package dse pour simuler un modèle ARIMA...... Observons que l'opérateur retard est noté L et non B dans ce package.... (source : gremaq.univ-tlse1)

Dans l'analyse des Séries temporelles, l'opérateur retard, noté L (ou B parfois), est l'opérateur qui, à tout élément d'une série temporelle, associe l'observation précédente.

Définition — \, L X_t = X_{t-1} pour tout <img class=Généralisations

Pour un décalage de plusieurs unités, on utilise plusieurs fois de suite cet opérateur, ce qu'on note L élevé à une certaine puissance (l'exposant doit s'entendre au sens de la composition). Ainsi

\, Lˆk X_{t} = X_{t-k}.\,

Une généralisation est de décaler non-plus dans le passé mais dans le futur, par un exposant négatif. A titre d'exemple, on pose

\, Lˆ{-1} X_{t} = X_{t+1}\,.

Propriétés

Propriété — L'opérateur des retards et l'opérateur de multiplication sont commutatifs : L(\beta X_t)=\beta\cdot(LX_t)

Propriété — L'opérateur des retards est distributif comparé à l'opérateur d'addition : L (Xt + Yt) = L (Xt) + L (Yt)

Polynôme retard

On peut combiner les propriétés précédentes pour former un polynôme retard, nommé toujours polynôme caractéristique. Ce genre de polynôme est utilisé pour simplifier l'écriture des modèles de classe ARMA (autorégressifs et moyenne mobile). A titre d'exemple, pour le modèle AR (1)  :

 X_t = c + \varphi X_{t-1}+ \varepsilon_t \Rightarrow (1-\varphi L)X_t=c+\varepsilon_t

Et pout le modèle AR (p)

 X_t = \sum_{i=1}ˆp \varphi_i X_{t-i} +\varepsilon_t \Rightarrow \left(1 - \varphi_{1} Lˆ{1}- \varphi_{2} Lˆ{2}-\ldots- \varphi_{p} Lˆ{p}\right) X_t=\left(1 - \sum_{i=1}ˆp \varphi_i Lˆi\right) X_t=\varepsilon_t\,

Cela permet d'avoir une notation particulièrement concise d'un modèle ARMA (p, q)  :

 \Phi X_t = \Theta \varepsilon_t\,

où Φ et Θ représentent les polynômes retard associés aux composantes autorégressives (AR) et en moyenne mobile (MA)  :

 \Phi = 1 - \sum_{i=1}ˆp \varphi_i Lˆi\,

et

 \Theta= 1 + \sum_{i=1}ˆq \theta_i Lˆi.\,

équation caractéristique

L'équation caractéristique se trouve particulièrement aisément depuis le polynôme caractéristique en substituant à l'opérateur des retards L la variable x. Pour le modèle AR (p)  :  \left(1 - \varphi_{1} Lˆ{1}- \varphi_{2} Lˆ{2}-\ldots- \varphi_{p} Lˆ{p}\right) devient  \left(1 - \varphi_{1} xˆ{1}- \varphi_{2} xˆ{2}-\ldots- \varphi_{p} xˆ{p}\right).

L'équation caractéristique est utilisée surtout pour vérifier la stationnarité et l'invertibilité d'un processus ARMA.

Opérateur de différence

L'opérateur de différence première Δ est un polynôme retard spécial :


\begin{array}{lcr}
  \Delta X_t & = X_t - X_{t-1} \\
  \Delta X_t & = (1-L)X_t
\end{array}

De manière identique, l'opérateur de différence seconde est


\begin{align}
  \Delta ( \Delta X_t ) & = \Delta X_t - \Delta X_{t-1} \\
  \Delta ( \Delta X_t ) & = X_t - X_{t-2} \\
  \Deltaˆ2 X_t & = (1-L)\Delta X_t \\
  \Deltaˆ2 X_t & = (1-L)(1-L)X_t \\
  \Deltaˆ2 X_t & = (1-L)ˆ2 X_t
\end{align}

L'approche précédente se généralise à la i-ème différence   \Delta ˆi X_t  = (1-L)ˆi X_t  \

Voir aussi

  • modèle autorégressif (AR) ;
  • modèle moyenne-mobile (MA) ;
  • modèle autorégressif moyenne-mobile (ARMA) ;
  • Transformée en Z.

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