Plan d'expérience

L'expérimentation est un moyen permettant d'acquérir de nouvelles connaissances avec un système sur lequel l'expérimentateur est capable de contrôler certains paramètres de fonctionnement, de manière à permettre de recueillir des réponses modélisables...

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Chimie analytique - Statistiques - Domaine scientifique

Page(s) en rapport avec ce sujet :

Le problème pour ton plan d'expérience est que si tu le réalises en ... Je dois réaliser un plan de 7 facteurs à 4 niveaux minimum et il me manque la base... (source : les-mathematiques)
La notion de plan d'expérience est ancienne mais l'utilisation systématique de protocoles...... des quatre facteurs A, B, C affectés à chaque expérience.... (source : educnet.education)
De plus, on suppose qu'il n'ya pas de facteur incontrôlable qui intervienne au... DOMAINES ET LIMITATIONS L'objectif d'un plan d'expérience est d'apporter les ... (source : books.google)

L'expérimentation est un moyen permettant d'acquérir de nouvelles connaissances avec un système sur lequel l'expérimentateur est capable de contrôler certains paramètres de fonctionnement (en entrée), de manière à permettre de recueillir (en sortie) des réponses modélisables de façon suffisamment précise et avec une bonne économie (un nombre d'essais le plus faible envisageable par exemple). La différence comparé à l'observation de dispositifs naturels, spontanés ou fortuits, réside dans le contrôle des paramètres qu'elle réalise en fixant par exemple la valeur des principaux paramètres d'entrée (ou facteurs) au cours de chaque essai élémentaire, dans le choix de certaines combinaisons des valeurs de ces paramètres réalisées sur chacun des essais nécessaires à la détermination d'un modèle. Les dispositifs naturels présentent le plus souvent une structure de données qui ne permet pas d'en déduire un modèle fiable, même si les observations sont particulièrement nombreuses, et malgré l'utilisation de techniques d'analyse de données particulièrement très élaborées. Dans ce cas les facteurs sont fréquemment nombreux (complexité du réel), embrouillés (mauvaise structure de données), les réponses sont fréquemment brouillées par ce qu'on peut appeler des bruits de fond. Cette difficulté de lisibilité de la nature explique en partie pourquoi le progrès des connaissances a été particulièrement lent. L'expérimentation comme moyen de connaissance n'est pas si ancienne et elle est restée longtemps particulièrement fragmentaire ; le concept n'a pu se développer qu'une fois qu'on a su construire des dispositifs contrôlables (grâce aux progrès de la mécanique) et faire des mesures aisément, surtout la mesure du temps qui a permis de franchir des étapes décisives.

On appelle plan d'expérience la suite ordonnée des essais élémentaires d'une expérimentation. Ce plan s'intègre dans une méthode qui va de la recherche des connaissances sur le domaine où elle se déroule, à la définition particulièrement précise des objectifs, à la stratégie expérimentale qui définit un déroulement pouvant être conditionné par les résultats obtenus en cours de route (expérimentation séquentielle), en passant par la coordination des différents intervenants. Cette méthode est indispensable chaque fois que les essais présentent une certaine complexité, sous peine d'échec (données inexploitables), de surcoût économique (délais de réponse), de coûts humains, de souffrance animale par exemple. Un exemple particulièrement classique de plan est constitué par un «plan en étoile» où en partant d'une valeur choisie pour chacun des paramètres dans une expérience centrale, on complète celle-ci par des expériences où chaque fois un seul des facteurs fluctue «toutes choses identiques d'autre part». L'expérience de l'expérience montre que ce système est le plus souvent particulièrement mauvais, au contraire de ce que peut suggérer l'intuition. Un autre type de plan qui en prend le contrepied est un «plan factoriel» consistant à choisir des valeurs pour chacun des facteurs de manière à pouvoir expérimenter l'ensemble des combinaisons entre l'ensemble des niveaux de l'ensemble des facteurs (quand cela est envisageable). Dans ce système le nombre d'essais peut devenir particulièrement grand (explosion combinatoire), mais il est envisageable d'obtenir un modèle particulièrement exhaustif (comprenant l'ensemble des interactions envisageables entre facteurs), ce qui n'est le plus souvent pas indispensable. L'objectif de l'article est de donner au lecteur des exemples qui illustrent l'importance de la notion de plan d'expériences et d'exposer des cas qui sont à la fois les plus simples conceptuellement et qui sont utilisés généralement.

Position du problème

Supposons que nous désirions savoir si la proportion de boules noires d'une urne est supérieure à 5%, l'urne contenant 1000 boules. Nous partons avec l'idée d'en tirer 100 dans l'espoir d'avoir une bonne approximation de la proportion.

Si au cours du tirage, nous ramenons 51 boules noires, ce dernier peut être arrêté immédiatement : le poursuivre n'aurait pas de sens, puisqu'avec 51 boules noires sur 1000 une proportion supérieure à 5% est désormais certaine.
On peut raffiner toujours en remarquant que la probabilité de tirer par exemple 5 boules noires dans les 5 premiers tirages ramène à 0, 3 x 10^-6 la probabilité que la proportion de boules noires soit inférieure à 5%.
Dans la pratique, le calcul permet d'établir des règles strictes indiquant suivant les résultats à quel moment le tirage doit s'arrêter - avec décision prise dans un sens ou dans l'autre - ou s'il doit être poursuivi.

Un plan d'expérience permet par conséquent de diminuer le nombre d'essais à ce qui est strictement indispensable pour prendre une décision, ce qui peut sauver du temps, de l'argent et des vies.

C'est un plan d'expérience de ce type qui a permis d'arrêter en cours de route une expérience visant à déterminer si l'aspirine avait un effet de prévention sur les crises cardiaques, les résultats établissant sans ambiguïté que c'était le cas (réduction de 25% des risques). Continuer l'expérimentation serait revenu dans ces conditions à priver jusqu'à la date originellement prévue les malades du lot-témoin d'accès à l'aspirine, ce qui aurait pu coûter la vie à certains d'entre eux.

Voir aussi l'article Inférence bayésienne et le problème dit du bandit manchot.

Plans d'expérience en sciences appliquées (plans expérimentaux)

Il existe de nombreux processus qu'on sait dépendre de la plupart de paramètres externes (on parle de facteurs) mais sans qu'on en ait des modèles analytiques.

Quand on est intéressé de connaître la dépendance d'une variable de sortie F d'un tel processus, on se trouve confronté à plusieurs difficultés :

Quels sont les facteurs les plus influents ?

Existe-t-il des interactions entre les facteurs (corrélations) ?

Peut-on linéariser le processus selon ces facteurs et le modèle ainsi obtenu est-il prédictif ?

Comment minimiser le nombre de points de mesure du processus pour obtenir le maximum d'informations ?

Existe-t-il des biais dans les résultats des mesures ?

La méthode du plan d'expérience répond à ces questions et peut ainsi être appliquée dans de nombreux processus qui vont par exemple des essais cliniques à l'évaluation de la qualité des processus industriels les plus complexes.

On peut ainsi pour l'industrie poser cette nouvelle définition : Un plan d'expériences est une suite d'essais rigoureusement organisés, pour déterminer avec un minimum d'essais et un maximum de précision, l'influence respectives des différents paramètres de conception ou de fabrication d'un produit, afin d'en optimiser les performances.

En sciences humaines

Les symboles utilisés

<...> = Emboîté, c'est-à-dire qu'il y a un groupe par modalité !
*... = Croisé, c'est-à-dire qu'il n'y a qu'un seul groupe pour l'ensemble des modalités.

S = Veut dire sujet.
S102> = Veut dire qu'il y a 20 sujets (car 10 sujets x 2 modalités)
S10*M2 = Veut dire qu'il y a 10 sujets

M2 = M est le symbole d'une VI (Variable Indépendante), et 2 en indice, indique le nombre de modalités.

Plan monofactoriel

On peut avoir deux types de plan monofactoriel :

	Méthode 1	Méthode 2
Type de plan	Emboîté	Croisé
Type de groupe	Groupes indépendants	Groupes appareillés
Formule	S102>	S10*M2
Nombre de données	20 données pour 20 sujets 10 sujets pour M1 et 10 pour M2	20 données pour 10 sujets les 10 sujets passent M1 et M2
Problème	Il est complexe d'avoir 2 groupes réellement équivalents	Il y a des interférences d'une activité à l'autre

Plan multifactoriel

On aura ici, au moins 2 VI à tester en même temps. On peut avoir trois types de plan multifactoriel :

	Méthode 1	Méthode 2	Méthode 3
Type de plan	Emboîté complet	Croisé complet	Mixte ou quasi complet
Type de groupe	Un Groupe de sujets par groupe expérimental	Chaque sujet rencontre l'ensemble des conditions expérimentales	On a deux groupes emboîtés, qui passe chacun l'ensemble des conditions
Formule	S102*R3>	S10M2R3	S102>*R3
Nombre de données	60 données pour 60 sujets	60 données pour 10 sujets	60 données pour 20 sujets
Problème	Il est complexe d'avoir des groupes réellement équivalents + Besoin largement de sujets	Peut être fatiguant pour les sujets + Il va y avoir un effet d'une condition à l'autre	.

Limites des plans expérimentaux exhaustifs

Supposons qu'on soit en présence d'un processus qui dépende de 3 facteurs $A$ , $B$ et $C$ qui ont chacun leur domaine de définition (discret) ${a i | i = 1, .., l}$ , ${b j | j = 1, ..., m}$ , ${c k | k = 1, ..., n}$ .

Une approche systématique consisterait à effectuer l'ensemble des expériences envisageables du processus en faisant fluctuer chacun des paramètres dans son domaine de définition :

Expérience 1 : ${a 1, b 1, c 1}$ $\Longrightarrow$ Résultat $F 1$

Expérience 2 : ${a 2, b 1, c 1}$ $\Longrightarrow$ Résultat $F 2$

Expérience 3 : ${a 3, b 1, c 1}$ $\Longrightarrow$ Résultat $F 3$

$\vdots$

Expérience $l$ $\cdot$ $m$ $\cdot$ $n$ : ${a l, b m, c n}$ $\Longrightarrow$ Résultat $F_{l\cdot m\cdot n}$

Le nombre d'expériences nécessaires, qui est égal au produit $l$ $\cdot$ $m$ $\cdot$ $n$ , peut être particulièrement énorme et hors de portée pour des raisons de coût et/ou de temps.

Exemple

Supposons qu'on souhaite caractériser un processus électrolytique par la mesure du courant entre les électrodes.

Pour une solution d'électrolyte donnée, un modèle grossier laisse supposer que ce courant va dépendre de trois facteurs principaux : (1) la dilution de la solution $C$ , comprise entre 10% et 90%, (2) la température de la solution $T$ , comprise entre 50°C et 100°C, et (3) la nature des électrodes utilisées (étain, or et en platine). Dans ces conditions, en prenant des pas de 10% pour la concentration et de 10°C pour la température, le plan expérimental exhaustif sera constitué de 6x8x3, soit 144 expériences indépendantes qu'il faudra faire dans des conditions d'autre part semblables.

En supposant que chaque expérience prend 1 heure (en comptant le temps de préparation), l'étude de ce simple processus ne demanderait pas moins de 4 semaines de travail à plein temps. Qui plus est , des expériences étalées sur un aussi grand laps de temps pourrait faire intervenir des facteurs non-connus mais variant sur la durée de cette étude et pouvant fausser les résultats.

On comprend facilement que les points relevés ci-dessus deviennent dramatiques dès qu'on a affaire à des processus légèrement plus complexes et le coût expérimental d'une étude exhaustive devient vite prohibitif, voir inapplicable. C'est un problème courant dans les processus industriels qui exigent une reproductibilité et un contrôle qualité total.

La manière correcte en premier lieuer un plan d'expérience optimal est de procéder d'une manière particulièrement analogue au principe de la droite de régression en supposant qu'on a des dépendances linéaires (ou tout au plus quadratiques) du processus dans chacune de ces variables mais aussi des interactions entre les variables. On se basera le plus fréquemment sur des hypothèses simples et/ou des expériences limites pour se donner une idée de l'existence ou non de dépendances croisées.

Reprenons le processus décrit plus haut en supposant que en plus de $T$ et $C$ , on définisse $m$ comme une grandeur physique qui caractérise la matière de l'électrode (par exemple son poids moléculaire ou son électrovalence, etc. ) :

On souhaite le décrire par une formule simplifiée du type :

F (T, C, m) =

$b 1$ $\cdot$ $T 2$ + $b 2$ $\cdot$ $C 2$ + $b 3$ $\cdot$ $m 2$ + $b 4$ $\cdot$ $T$ + $b 5$ $\cdot$ $C$ + $b 6$ $\cdot$ $m$ + $b 7$ $\cdot$ $T$ $\cdot$ $C$ + $b 8$ $\cdot$ $T$ $\cdot$ $m$ + $b 9$ $\cdot$ $C$ $\cdot$ $m$ + $b 10$ $\cdot$ $T$ $\cdot$ $C$ $\cdot$ $m$ + $b 11$ $\cdot$ $T 2$ $\cdot$ $C$ + $b 12$ $\cdot$ $T 2$ $\cdot$ $m$ + $b 13$ $\cdot$ $C 2$ $\cdot$ $T$ + $b 14$ $\cdot$ $C 2$ $\cdot$ $m$ + $b 15$ $\cdot$ $T$ $\cdot$ $m 2$ + $b 16$ $\cdot$ $C$ $\cdot$ $m 2$

Pour simplifier, on supposera raisonnablement que les termes en $T 2$ $\cdot$ $C$ , $T 2$ $\cdot$ $m$ , $C 2$ $\cdot$ $T$ , $C 2$ $\cdot$ $m$ , $T$ $\cdot$ $m 2$ et $C$ $\cdot$ $m 2$ sont négligeables comparé aux termes du premier ordre, ce qui revient à dire que les cœfficients $b 11$ , $b 12$ , $b 13$ , $b 14$ , $b 15$ et $b 16$ sont nuls (en général, le terme en $T$ $\cdot$ $C$ $\cdot$ $m$ est aussi négligeables).

Il reste alors 10 variables $b 1$ , .., $b 10$ à déterminer pour avoir une connaissance analytique du processus dans les intervalles spécifiés.

On «choisit» 10 points dans l'espace ( $T$ , $C$ , $m$ ), pour lesquels on effectue l'expérience, obtenant ainsi les valeurs de ${F i}$ pour chacun de ces points. On veillera bien entendu à ce que l'ensemble des autres paramètres de l'expérience restent constants.

NB : on travaille plutôt avec des variables réduites, c'est-à-dire des variables T, C et m qui sont sans dimensions et normalisées à 1 sur leur intervalle de définition

Il en résulte le dispositif de 10 équations à 10 inconnues :

$F i$ = $a i 1$ $\cdot$ $b 1$ + $a i 2$ $\cdot$ $b 2$ + $a i 3$ $\cdot$ $b 3$ + $a i 4$ $\cdot$ $b 4$ + $a i 5$ $\cdot$ $b 5$ + $a i 6$ $\cdot$ $b 6$ + $a i 7$ $\cdot$ $b 7$ + $a i 8$ $\cdot$ $b 8$ + $a i 9$ $\cdot$ $b 9$ + $a i 10$ $\cdot$ $b 10$

avec $i$ = 1, .., 10.

Les $a i j$ sont obtenus simplement en remplaçant $T, C$ et $m$ par leur valeurs aux points où on a fait les expériences.

En écriture matricielle :

$\begin{bmatrix} F_1 \\ \vdots \\ F_{10} \end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix} a_{1,1} & \cdots & a_{1,10} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{10,1} & \cdots & a_{10,10} \end{bmatrix}$ $\cdot$ $\begin{bmatrix} b_1 \\ \vdots \\ b_{10}\end{bmatrix}$

Pour résoudre ce dispositif, il faut inverser la matrice $\begin{bmatrix} a_{ij}\end{bmatrix}$ :

$\begin{bmatrix} b_1 \\ \vdots \\ b_{10} \end{bmatrix}$ = ${\begin{bmatrix} a_{1,1} & \cdots & a_{1,10} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{10,1} & \cdots & a_{10,10} \end{bmatrix}}ˆ{-1}$ $\cdot$ $\begin{bmatrix} F_1 \\ \vdots \\ F_{10}\end{bmatrix}$

La théorie des plans expérimentaux autorise partir de modèles spécifiques plus ou moins complexes de déterminer exactement en quels points les mesures doivent être faites.

Les plans factoriels

Parmi les différents plans expérimentaux, les plans factoriels sont courants car ils sont les plus simples à mettre en œuvre et ils permettent de mettre en évidence particulièrement rapidement l'existence d'interactions entre les facteurs.

L'hypothèse de base est d'assigner à chaque facteur (normalisé) sa valeur la plus basse ( $- 1$ ) et sa valeur la plus haute ( $+ 1$ ). Ainsi, pour $k$ facteurs, on se retrouve avec un ensemble de $2 k$ valeurs envisageables.

Sans entrer dans les détails, la matrice d'expérience $\begin{bmatrix} a_{ij}\end{bmatrix}$ possède alors des propriétés intéressantes (on a par exemple : $a T$ $\cdot$ $a$ = $k$ $\cdot$ $1$ ) qui sont beaucoup exploitées par les logiciels qui établissent des plans expérimentaux. Surtout, l'ajout d'expériences supplémentaires mais aussi des algorithmes de randomisation efficace du plan d'expérience d'origine permettent de mettre en évidence des biais systématiques et de les supprimer ou alors de mettre en évidence l'influence d'une variable cachée dont il faut tenir compte.

Pour reprendre l'exemple ci-dessus, on se retrouve avec un plan à 12 expériences (2 températures extrêmes, 2 concentrations extrêmes et 3 paires d'électrodes).

Travaillons avec la température et la concentration normalisée :

$t$ = $\frac {T-75} {25}$

$c$ = $\frac {C-50} {40}$

On cherche désormais seulement des dépendances linéaires en $t$ et en $c$ , c'est-à-dire une relation du type :

$I X$ ( $t$ , $c$ ) = $b 1$ $t$ + $b 2$ $c$ + $b 3 t$ $c$ pour $X$ = $1$ , $2$ ou $3$ selon le type d'électrode.

En effectuant les mesures du courant aux 4 points (50°C, 10%), (50°C, 90%), (100°C, 10%), (100°C, 90%) correspondant aux points ( $- 1$ , $- 1$ ), ( $- 1$ , $+ 1$ ), ( $+ 1$ , $- 1$ ) et ( $+ 1$ , $+ 1$ ) dans l'espace des facteurs réduits, on a, pour chaque type d'électrode, on est ramené à un plan factoriel $22$

$\begin{bmatrix} I_1 \\ I_2 \\ I_3 \\ I_4\end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix} -1 & -1 & +1 \\ -1 & +1 & -1 \\ +1 & -1 & -1 \\ +1 & +1 & +1\end{bmatrix}$ $\cdot$ $\begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3\end{bmatrix}$

On vérifie effectivement que $a T$ $\cdot$ $a$ = $k$ $\cdot$ $1$ , et on obtient la résolution du dispositif :

$\Longrightarrow$ $\begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3\end{bmatrix}$ = $\frac {1} {4}$ $\begin{bmatrix} -1 & -1 & +1 & +1 \\ -1 & +1 & -1 & +1 \\ +1 & -1 & -1 & +1\end{bmatrix}$ $\cdot$ $\begin{bmatrix} I_1 \\ I_2 \\ I_3 \\ I_4 \end{bmatrix}$

Soit :

$b 1$ = $\frac {1} {4}$ (- $I 1$ - $I 2$ + $I 3$ + $I 4$ )

$b 2$ = $\frac {1} {4}$ (- $I 1$ + $I 2$ - $I 3$ + $I 4$ )

$b 3$ = $\frac {1} {4}$ ( $I 1$ - $I 2$ - $I 3$ + $I 4$ )

Ainsi, moyennant quelques précautions, on a ramené une étude d'un processus non analytique constitué de 144 expériences différentes à un processus d'une douzaine d'expériences, qui donne des résultats intéressants sur les intervalles reconnus, surtout sur l'existence et l'amplitude des interactions entre les différents facteurs.

Voir aussi

Bibliographie

Les plans d'expériences, un outil indispensable à l'expérimentateur, Richard Linder. Presses de l'Ecole Nationale des Ponts et Chaussées. 320 p., 2005 ISBN 2-85978-402-0.

Introduction aux plans d'expérience, Jacques Goupy et Lee Creighton, Dunod/L'usine nouvelle, 2006, ISBN 2-10-049744-8

Pierre Dagnelie, Principes d'expérimentation : planification des expériences et analyse de leurs résultats, Presses agronomiques, Gembloux, 2003, 397 p. (ISBN 2-87016-069-0) et édition électronique (PDF)

Pratique industrielle des plans d'expériences, Jacques et Philippe ALEXIS, AFNOR, 1999, ISBN 2-12-465038-6

Liens

EIGSI La Rochelle, Ecole d'ingénieurs intégrant des formations à ces méthodes

Ei Cesi Paris, Ecole d'ingénieurs intégrant des formations à ces méthodes

Cours sur les plans d'expériences

Groupe français de chimiométrie (GFC)

Master professionnel «OPEx» (Optimisation des Procédés Expérimentaux) Formation de Chimiométrie de l'Université de Bretagne Occidentale (Brest , France)

Blog complémentaire au livre Introduction aux plans d'expérience

Compléments au livre Principes d'expérimentation : planification des expériences et analyse de leurs résultats

Exemple de plan d'expériences appliqué à un procédé de gravure plasma RIE du Si (chapitre 3 de thèse A. Martinez-Gil)

Aux plans d'expériences efficaces : Site dynamique complémentaire au livre «Pratique industrielle des plans d'expériences»

Recherche sur Amazon (livres) :

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