Stationnarité d'une série temporelle

Une des grandes questions dans l'étude de séries temporelles est de savoir si celles-ci suivent un processus stationnaire.



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  • Les séries temporelles, nommées aussi séries chronologiques (ou même...... Cette formule utilise l'une des composantes de la stationnarité d'une série, ... (source : invs.sante)
  • DESS MD/Actuariat - Cours de Séries Temporelles - Arthur Charpentier... 11.1 Notions de stationnarité et notions de linéarité... (source : cours.mido.dauphine)
  • Une série chronologique de réalisations d'une grandeur aléatoire, ... comme étant stationnaires par segments temporels de durée variable ce qui dénoterait une... Quoiqu'il en soit cette remise en cause de la stationnarité des séries... (source : 91.121.162)

Une des grandes questions dans l'étude de séries temporelles (ou chronologiques) est de savoir si celles-ci suivent un processus stationnaire. On entend par là le fait que la structure du processus sous-jacent supposé évolue ou non avec le temps. Si la structure reste la même, le processus est dit alors stationnaire.

Définition forte de la stationnarité

Définition — Soit un processus temporel à valeurs réelles et en temps discret  \textstyle Z_1,Z_2,...,Z_t. Il est dit stationnaire au sens fort si pour toute fonction f mesurable :

 \textstyle f(Z_1,Z_2,...,Z_t) = f(Z_{1+k}, Z_{2+k}, ..., Z_{t+k})

Interprétation :

On s'intéresse ici à la distribution conjointe de probabilité du processus. La fonction de densité jointe est-elle la même qu'on prenne les t premières variables ou qu'on prenne les t+k suivantes? Si oui, le processus est alors stationnaire au sens strict. C'est à dire, si le processus est stationnaire, ses propriétés ne sont pas affectées par un changement de notre "repère temporel" : qu'on regarde au point t ou au point t+k la série aura toujours le même comportement.

Comme la loi de probabilité d'une distribution d'une série de données est particulièrement complexe à estimer, une définition moins stricte de la stationnarité a été introduite.

Définition faible de la stationnarité

Définition — Soit un processus temporel à valeurs réelles et en temps discret  \textstyle Z_1,Z_2,...,Z_t. Il est dit stationnaire au sens faible (ou "de second ordre", ou "en covariance") si

  • E[Z_i] = \mu \qquad \qquad  \qquad \qquad   \forall i= 1...t
  •  Var[Z_i] = \sigmaˆ2 \ne \infty \qquad \qquad   \forall i= 1...t
  •  \textstyle Cov[Z_i, Z_{i-k}] = f(k) = \rho_k \qquad \forall i= 1...t, \quad \forall k= 1...t

Interprétation :

Importance de la notion

La notion de stationnarité est importante dans la modélisation de série temporelles, le problème de régression fallacieuse montrant qu'une régression linéaire avec des variables non-stationnaires n'est pas valide. Plus exactement, la distribution des paramètres de la régression ne suit plus une loi de Student mais un mouvement brownien. Dans le cas où les variables ne sont pas stationnaires, un concept particulièrement proche, celui de coïntégration   (en) , sert à déterminer le type de modèle à utiliser.

La stationnarité joue aussi un rôle important dans la prédiction de séries temporelles, l'intervalle de prédiction étant différent selon que la série est stationnaire ou non.

Types de non-stationnarité

Quand une ou plus des conditions de stationnarité n'est pas remplie, la série est dite non-stationnaire. Ce terme recouvre cependant de nombreux types de non-stationnarité, dont deux sont ici exposés.

Stationnarité en tendance

Définition — Une série est stationnaire en tendance si la série obtenue en "enlevant" la tendance temporelle de la série originale est stationnaire.

La tendance temporelle (ou trend en anglais) d'une série chronologique est sa composante liée au temps.

Exemple : Soit le processus suivant :  X_{t}=1  + \epsilon_t \qquad avec εt un bruit blanc.

Ce processus est non-stationnaire car son espérance augmente avec le temps (condition 1 violée). Mais la série Yt obtenue en soustrayant l'effet de la tendance temporelle, Yt = Xt − 1.2t est stationnaire :

 Y_t=1  + \epsilon_t -1  = \epsilon_t \qquad qui est équivalent à un bruit blanc, stationnaire par définition.

Stationnarité en différence

Définition — Une série est stationnaire en différence si la série obtenue en différenciant les valeurs de la série originale est stationnaire.

L'opérateur de différence est noté : ΔXt = XtXt − 1

Ordre d'intégration d'une série temporelle

Définition — Une série temporelle est dite intégrée d'ordre d, qu'on note I (d), si la série obtenue après d différenciations est stationnaire.

Exemple : Soit la marche aléatoire pure :  X_{t}=X_{t-1} + \epsilon_t \qquad avec εt un bruit blanc.

On peut montrer qu'une marche aléatoire n'est pas stationnaire. On voit ici qu'elle est intégrée d'ordre 1, la série des différences est en effet stationnaire :

 \Delta X_t=X_{t}-X_{t-1}=X_{t-1} + \epsilon_t -X_{t-1}= \epsilon_t\qquad équivalent à un bruit blanc, stationnaire par définition.

Tests de stationnarité

Si la fonction de densité n'est pas connue, ce qui est fréquemment le cas, il est utile de pouvoir déterminer par un test si la série est stationnaire ou non. Il en existe deux types, avec la stationnarité comme hypothèse nulle ou hypothèse alternative :

Tests de stationnarité

L'hypothèse nulle est la stationnarité.

Tests de racine unitaire

L'hypothèse nulle est la non-stationnarité.

Références

  1. Kwiatkowski, D., P. C. B. Phillips, P. Schmidt and Y. Shin (1992), ”Testing the Null Hypothesis of Stationarity against the Alternative of a Unit Root”, Journal of Econometrics, 54, 159-178.
  2. Leybourne, S. J. and B. P. M. McCabe (1994), ”A Consistent Test for a Unit Root”, Journal of Business and Economic Statistics, 12, 157-166
  3. Dickey, D. A. and W. A. Fuller (1979), “Distribution of the Estimators for Autoregressive Time Series with a Unit Root, ” Journal of the American Statistical Association, 74, p. 427–431
  4. Said E. and David A. Dickey (1984), 'Testing for Unit Roots in Autoregressive Moving Average Models of Unknown Order', Biometrika, 71, p 599–607
  5. Phillips, Perron (1988) Testing for a Unit Root in a Time Series Regression, Biometrika, 75, p 335-346
  6. Elliott, G., Rothenberg, T., and Stock, J. (1996). Efficient tests for an autoregressive unit root. Econometrica, 64, 813-836

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La version présentée ici à été extraite depuis cette source le 07/04/2010.
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