Théorème de Liouville
En physique, le théorème de Liouville, appelé selon le mathématicien Joseph Liouville, est un théorème utilisé par le formalisme hamiltonien de la mécanique classique, mais également en mécanique quantique et en physique statistique.
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En physique, le théorème de Liouville, appelé selon le mathématicien Joseph Liouville, est un théorème utilisé par le formalisme hamiltonien de la mécanique classique, mais également en mécanique quantique et en physique statistique. Ce théorème dit que le volume de l'espace des phases est constant le long des trajectoires du dispositif, c'est à dire ce volume reste constant dans le temps.
Équation de Liouville
L'équation de Liouville décrit l'évolution temporelle de la densité de probabilité ρ dans l'espace des phases. Cette densité de probabilité est définie comme la probabilité pour que l'état du dispositif soit représenté par un point à l'intérieur du volume Γ reconnu.
En mécanique classique
On utilise les coordonnées généralisées (q, p) [1] où N est la dimension du dispositif. La densité de probabilité est définie par la probabilité de rencontrer l'état[2] du dispositif dans le volume illimitétésimal
.
Quand on calcule l'évolution temporelle cette densité de probabilité ρ (p, q) , on obtient :
On utilise alors les équations canoniques de Hamilton, en les remplaçant dans l'équation précédente :
d'où :
en utilisant les crochets de Poisson.
On considère l'équation de continuité d'un dispositif conservatif :
or le second terme vaut[3] :
On obtient bien :
En mécanique quantique
D'après le principe de correspondance, on peut rapidement en déduire l'équation de Liouville en mécanique quantique :
d'où on déduit :
Ici, est l'opérateur hamiltonien et ρ la matrice densité. Quelquefois cette équation est aussi appelée l'équation de Von Neumann.
Théorème de Liouville
De l'équation de Liouville, on peut prouver le théorème de Liouville, qui peut se formuler comme :
Théorème de Liouville — La fonction de distribution est constante le long de n'importe quelle trajectoire de l'espace des phases
ou bien :
Théorème de Liouville — Le volume d'une région de l'espace des phases reste constant lorqu'on suit cette région dans le temps
On peut montrer que le volume Γest constant :
où est le vecteur vitesse et
un vecteur surface de Γ
et à l'aide du théorème de Green-Ostrogradski, on trouve
car divergence du vecteur vitesse est nul[4].
Notes
Voir aussi
- Mécanique Hamiltionienne
- Espace des phases
- Hypothèse ergodique
- Matrice densité
Bibliographie
- C. Cohen-Tannoudji, B. Diu et F. Laloë, Mécanique quantique [détail des éditions]
- Albert Messiah, Mécanique quantique [détail des éditions]
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