Théorème H

Le théorème H est un théorème démontré par Boltzmann en 1872 dans le cadre de la théorie cinétique des gaz, quand un gaz hors d'équilibre vérifie son équation.



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Le théorème H est un théorème démontré par Boltzmann en 1872 dans le cadre de la théorie cinétique des gaz, quand un gaz hors d'équilibre vérifie son équation. Selon ce théorème, il existe une certaine grandeur H (t) qui fluctue de façon monotone au cours du temps, pendant que le gaz relaxe vers l'état d'équilibre caractérisé par la distribution de Maxwell.

Aspects historiques

La théorie cinétique des gaz, qui est basée sur l'application de la mécanique classique aux molécules constituant le gaz à l'échelle microscopique, s'est développée à partir des travaux fondateurs de Maxwell (1850) en parallèle avec la thermodynamique macroscopique. Boltzmann a contribué de façon marquante à la maturation de la théorie cinétique des gaz.

Il semblait tentant d'identifier la grandeur H (t) , qui fluctue de façon monotone au cours du temps, à l'entropie (au signe près) introduite en thermodynamique par Clausius (1850) et qui, pour un dispositif isolé, ne peut que croître selon le second principe. Cette identification aurait permis de déduire le second principe, macroscopique, à partir des lois de la dynamique des molécules, microscopiques, conformément à l'approche réductionniste de la Nature.

Rapidement cependant, Loschmidt, puis Zermelo, formulèrent des critiques virulentes contre le théorème H, Boltzmann étant accusé de pratiquer des «mathématiques douteuses». Cette accusation ne tient plus depuis un théorème rigoureux démontré par Lanford en 1973 (lire ci-dessous).

Le paradoxe de la réversibilité

Le paradoxe de Loschmidt (1876)

Loschmidt[1] se demande comment la grandeur H (t) peut-elle fluctuer de façon monotone au cours du temps tandis que les équations de la mécanique classique sont réversibles ? En effet, si la fonction H (t) était en train de décroitre et qu'à un instant donné, on renverse précisément l'ensemble des vitesses de molécules, alors la nouvelle évolution se fait à l'envers, avec H (t) commençant par croitre. La réponse de Boltzmann fût brêve : «Allez-y, renversez les !», signifiant l'impossibilité pratique d'une telle inversion exacte[2].

Interprétation statistique de l'entropie (Boltzmann-1877)

Article détaillé : Entropie

En 1877, Boltzmann proposa une nouvelle définition de l'entropie :

S \ = \ k_B \ \ln \ \Omega

kB est la constante de Boltzmann, et Ω le «nombre de complexions», c'est-à-dire le nombre de micro-états différents qui sont compatibles avec le macro-état thermodynamique donné.

La croissance de l'entropie devait alors être interprétée comme un phénomène statistique : l'entropie croît parce que le dispositif évolue généralement d'un état d'origine improbable (Ωi petit) vers un état final bien plus probable (Ωf > Ωi). Des fluctuations locales sont évidemment envisageables, mais leur grandeur relative tend vers zéro quand le nombre N de molécules tend vers l'infini, de telle sorte que l'entropie d'un dispositif macroscopique nous semble croître de façon monotone.

Inversion des vitesses & sensibilité aux conditions initiales

Avec la découverte du phénomène de sensibilité aux conditions initiales caractéristique des systèmes chaotiques, nous savons actuellement qu'une inversion approchée des vitesses va rapidement entraîner une déviation comparé à l'orbite d'origine exacte inversée, et ce aussi petites que soient les erreurs introduites sur les conditions initiales. Des simulations numériques montrent tandis qu'après une inversion approchée, la fonction H (t) débute bien par décroître comme le prédisait Loschmidt, mais qu'elle se remet particulièrement rapidement à croître à nouveau et ce pour presque l'ensemble des conditions initiales approchées, l'orbite réelle du dispositif différant de l'orbite d'origine exacte inversée.

Le paradoxe de Zermelo

Le paradoxe de Zermelo (1896)

En 1890, tandis qu'il étudie le problème à 3 corps en mécanique céleste, Poincaré démontre un théorème particulièrement général : le théorème de récurrence [3], [4]. Ce théorème dit que, pour presque l'ensemble des conditions initiales, un dispositif dynamique conservatif dont l'espace des phases est de volume fini[5] va repasser au cours du temps aussi près qu'on veut de sa condition d'origine, et ce de façon répétée[6].

Zermelo[7] fait alors remarquer à Boltzmann en 1896 que le théorème de récurrence de Poincaré semble contredire le fait qu'une grandeur dynamique puisse fluctuer de façon monotone, comme H (t) le fait. La réponse de Boltzmann[8] consiste à estimer le temps de récurrence moyen : pour un gaz macroscopique contenant N \gg 1 molécules, Boltzmann estime ce dernier d'ordre 10N, une durée qui est beaucoup supérieure à l'age de l'univers[9] quand  N \sim \mathcal{N}_A = 6 \ 10ˆ{+23}  ; les récurrences sont par conséquent invisibles à notre échelle. (Voir illustration à Modèle_des_urnes_d'Ehrenfest#Dynamique du modèle. )

Le modèle des urnes d'Ehrenfest (1907)

Article détaillé : Modèle des urnes d'Ehrenfest.

Le «modèle des urnes» est un modèle stochastique introduit en 1907 par les époux Paul & Tatiana Ehrenfest[10] pour clarifier les paradoxes qui ont précédé apparus à la fin du XIXe siècle dans les fondements de la mécanique statistique[11]. Ce modèle est quelquefois aussi nommé le «modèle des chiens & des puces[12]». Le mathématicien Mark Kac a rédigé[13] à son propos qu'il était :

«... certainement l'un des modèles les plus instructifs de toute la physique...»

Ce modèle est précisément soluble ; surtout, on sait calculer le temps de récurrence moyen de chaque état, mais aussi sa variance pour certains états intéressants.

Le théorème de Lanford (1973)

Lanford a démontré rigoureusement[14] qu'un gaz de sphères dures dilué dans \mathbb{R}ˆ3 obéit à l'équation de Boltzmann dans la limite de Boltzmann-Grad, au moins pour un temps particulièrement court, égal uniquement à un cinquième du temps de parcours moyen d'un atome[15].

En dépit de cette restriction sur la durée, ce théorème mathématique rigoureux est particulièrement important conceptuellement, puisque l'équation de Boltzmann entraine le théorème H. Il est par conséquent actuellement acquis que les mathématiques de Boltzmann ne sont pas «douteuses» !

Bibliographie

Ouvrages de référence

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Cours

Articles

Notes

  1. Johann Loschmidt ; Uber das Wärmegleichgewicht eines Systems von Körpern mit Rücksicht auf die Schwere, Sitzungsber. Kais. Akad. Wiss. Wien, Math. Naturwiss. Classe 73 (1876), 128-142 ; et : 75 (1877), 67.
  2. En réalité, la théorie des gaz de Boltzmann n'est pas réversible, en raison d'une hypothèse dite du «chaos moléculaire» utilisée pour traiter les chocs entre deux molécules. Cette hypothèse dit que avant un choc, les deux vitesses de chaque molécule sont indépendantes, mais pas après ce choc.
  3. Henri Poincaré ; Sur le problème des trois corps et les équations de la dynamique, Acta Mathamatica 13 (1890), 1-270.
  4. Ludwig Boltzmann ; Uber einen mechanischen Satz von Poincaré, Wien. Ber. 106 (1897), 12.
  5. A titre d'exemple, les molécules sont contenues dans un récipent de volume fini, excluant mais aussi les positions deviennent illimitées. On supposera aussi que les vitesses restent toujours finies.
  6. Il existe quelques états exceptionnels pour lequel ceci n'est pas vérifié, mais ces état exceptionnels sont négligeables parmi l'ensemble des états envisageables, et ce en un sens qui peut être rendu mathématiquement précis.
  7. Ernst Zermelo ; Uber einen Satz der Dynamik une der mechanischen Wärmetheorie, Wied. Ann. 57 (1896), 793.
  8. Ludwig Boltzmann ; Entgegnung auf die wärmetheoretische Betrachtung des Herrn Zermelo, Wied. Ann. \textbf{57} (1896), 773 ; et : \textbf{60} (1897), 392.
  9. À peu près 15 milliards d'années.
  10. Paul Ehrenfest & Tatiana Ehrenfest ; Ueber zwei bekannte Eingewände gegen das Boltzmannsche H-Theorem, Zeitschrift für Physik 8 (1907), 311-314.
  11. Pour une revue des fondements conceptuels de la mécanique statistique à cette époque, on pourra lire l'article classique (paru originellement en allemand en 1912)  : Paul & Tatiana Ehrenfest ; The Conceptual Foundations of the Statistical Approach in Mechanics, Dover, Inc. (1990), ISBN 0-486-66250-0. Niveau second cycle universitaire.
  12. Selon l'anglais : «dog-flea model».
  13. Mark Kac ; Probability and Related Topics in Physical Science, Lectures in Applied Mathematics Series 1a, American Mathematical Society (1957), ISBN 0-8218-0047-7.
  14. Oscar E Lanford III ; Time Evolution of Large Classical Systems, dans : Dynamical Systems, Theory and Application, J. Moser (éditeur), Springer-Verlag (1975). Lire aussi : Oscar E Lanford III ; On a derivation of the Boltzmann equation, dans : Nonequilibrium phenomena I : The Boltzmann equation, Joël L Lebowitz & Elliott W Montroll (éditeurs), North-Holland (1983), 3-17.
  15. Temps moyen entre deux collisions consécutives.

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