Théorie de la réponse linéaire

En physique statistique hors d'équilibre, la théorie de la réponse linéaire sert à définir les susceptibilités et les cœfficients de transport d'un dispositif au voisinage de l'équilibre thermique indépendamment des détails du modèle.



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Physique statistique - Statistiques

En physique statistique hors d'équilibre, la théorie de la réponse linéaire sert à définir les susceptibilités et les cœfficients de transport d'un dispositif au voisinage de l'équilibre thermique indépendamment des détails du modèle. La théorie de la réponse linéaire a été développée dans les années 1950 par Greene, H. B. Callen, Ryogo Kubo.

Formalisme général

Le Hamiltonien du dispositif

Dans la théorie de la réponse linéaire, on suppose que le dispositif reconnu est décrit par un certain Hamiltonien d'équilibre H0, perturbé par un Hamiltonien perturbatif dépendant du temps H1 (t) , qu'on peut expliciter sous la forme :

H1 (t) = λi (t) Ai
i


ou les λi (t) sont les facteurs perturbatifs et les opérateurs hermitiens Ai sont des observables du dispositif, de sorte que le Hamiltonien total du dispositif est :

H = H0 + H1 (t) = H0 + λi (t) Ai
l

Il en ressort que le formalisme naturel d'un dispositif en réponse linéaire est la représentation d'interaction.

Explicitation de la matrice densité

La matrice densité est affectée par la perturbation du hamiltonien. Pour la matrice densité, l'équation de Schrödinger s'écrit :

 i\hbar \partial_t\rho(t)= [H(t),\rho(t)]

Attention! Ceci n'est pas une équation de Heisenberg et la matrice densité ρ (t) n'est pas un opérateur! (Voir le signe du commutateur pour s'en convaincre!) Si nous baptisons ρ0 la matrice densité du dispositif non perturbé (c'est-à-dire du dispositif à l'équilibre thermique), ρ (t) la matrice densité du dispositif perturbé (c'est-à-dire du dispositif hors équilibre), δρ (t) l'écart de la matrice densité du dispositif perturbé calculé au premier ordre de perturbation, l'équation de la matrice densité se réduit à :

 i\hbar \partial_t\delta\rho(t)= [H_1(t),\rho_0]+ [H_0,\delta\rho(t)]


d'où la solution :

 \delta\rho(t)= {1\over{i\hbar}}\int_{-\infin}ˆt eˆ{-i(t-\tau)H_0/\hbar}[H_1(\tau),\rho_0]eˆ{i(t-\tau)H_0/\hbar} d\tau


ce qui permet d'acceder à ρ (t)

calcul des observables et des fonctions de réponse

En calculant au premier ordre de la théorie des perturbations on obtient la matrice densité ρ (t) du dispositif. Cette matrice est parfois utilisée pour extraire les moyennes thermiques et quantiques des observables :

 \langle A_k\rangle (t)=Tr(\rho(t)A_k)

En dernier ressort, en introduisant la fonction de réponse retardée χkl (t) les observables du dispositif sont données par :

 \langle A_k\rangle (t)=\int_{-\infty}ˆ{+\infty} \sum_l \chi_{kl}(t-t') \lambda_l(t') dt'

Où on identifie la fonction de réponse χkl (t) par :

 \chi_{kl}(t-t')=\frac{i}{\hbar} \theta(t-t') \langle [A_k(t),A_l(t')]\rangle

θ est la fonction de Heaviside (qui traduit ici le principe de causalité), A_k(t)=\exp(i H_0 t/\hbar) A_k \exp(-i H_0 t/\hbar) sont les opérateurs dans la représentation de Heisenberg, et la moyenne est prise avec la matrice densité d'équilibre \rho_0=eˆ{-\beta H_0}/Tr(eˆ{-\beta H_0}). Le fait que la fonction de réponse ne dépend que de la différence de temps entre l'excitation et la mesure de la réponse est une conséquence de la prise de moyenne sur un état d'équilibre, qui est invariant par translation dans le temps.

La définition de la fonction de réponse est due à Ryogo Kubo (1956).

Comme la fonction de réponse χkl (t) s'annule pour t < 0 (à cause du principe de causalité), on peut définir sa transformée de Laplace imaginaire (nommée toujours Fourier unilatérale), qui est égale dans ce cas précis à sa transformée de Fourier simple :

 \chi_{kl}(z)=\int_0ˆ\infty \chi_{kl}(t) eˆ{i z t} dt=\int_{-\infty}ˆ\infty \chi_{kl}(t) eˆ{i z t} dt

qui est par conséquent une fonction holomorphe pour Im (z) > 0 selon les propriétés de la transformation de Laplace.

Première application : résistivité électrique

L'intérêt de la théorie de la réponse linéaire vient de ce qu'aucune hypothèse n'est indispensable sur le Hamiltonien H0 pour définir la fonction de réponse. Cela permet par exemple de définir la conductivité en considérant :

 H_0 -\vec {J}_0\cdot\vec{A}(t)

\vec{J} est le courant électrique, et \vec{A} est le potentiel vecteur. La théorie de la réponse linéaire donne alors une relation :

 \vec{J}_0(\omega)=\chi_{JJ}(\omega) \vec{A}(\omega)

En tenant compte des équations de Maxwell, cette équation sert à montrer que la conductivité est :

 \sigma(\omega)=\frac{\chi_{JJ}(\omega)}{i\omega} +\frac{n eˆ2}{m i \omega}

Le second terme est une contribution diamagnétique qui vient de ce que le courant est \vec{J}_0-neˆ2\vec{A}/m en présence d'un potentiel vecteur.

Le calcul de la conductivité est par conséquent réduit au calcul de la fonction de réponse χJJ. Ce calcul peut être effectué soit par des méthodes numériques comme la méthode Monte-Carlo quantique, ou la méthode de Lanczos ou bien par des méthodes analytiques comme la sommation de diagrammes de Feynman.

Autre application : relaxation magnétique

De la même façon, on peut définir avec la théorie de la réponse linéaire d'autres grandeurs physiques comme la constante diélectrique ou la susceptibilité magnétique. La susceptibilité magnétique est surtout utile dans l'étude de la résonance paramagnétique électronique.

Dans le cadre de la théorie de la réponse linéaire, il est aussi envisageable d'étudier les processus de relaxation en calculant la réponse à une perturbation de la forme :

λ (t) = λ0exp (εt) θ (− t)

et en prenant la limite \epsilon \to 0 .

Ainsi, la théorie de la réponse linéaire sert à définir le temps de relaxation 1 / T1 résultant du couplage hyperfin entre les spins nucléaires et les spins électroniques sans faire d'hypothèse a priori sur le modèle qui décrit les spins électroniques.

Enfin, la théorie de la réponse linéaire permet grâce au théorème de fluctuation-dissipation de définir les fonctions de réponse en termes des fonctions de corrélation symétriques :

 S_{lk}(t-t')=\frac 1 2 \langle A_l(t) A_k(t') + A_k(t') A_l(t)\rangle

Perturbations non mécaniques

Dans ce qui précède, on a admis que la fonction de réponse pouvait être obtenue en calculant l'évolution d'un dispositif dont le Hamiltonien dépend explicitement du temps par la théorie de perturbations. Dans ce cas, on parle de perturbations mécaniques.

Cependant, si on veut pouvoir définir des quantités comme la conductivité thermique ou la constante de diffusion, ce cadre est trop restrictif. En effet, un gradient thermique ne peut pas être vu comme une force agissant sur les particules d'un dispositif. On parle alors de perturbations non mécaniques.

Dans le cas du transport thermique, une généralisation de la formule de Kubo a été proposée par J. M. Luttinger en 1964. Cette généralisation est basée sur une hypothèse d'équilibre local.

Réponse linéaire et relations de réciprocité d'Onsager

La théorie de la réponse linéaire sert à donner une justification microscopique des relations de réciprocité d'Onsager. On obtient en fait une égalité plus générale :

Imχlk (ω) = Imχkl (ω)

dans le cas où les opérateurs Al et Ak sont l'ensemble des deux invariants par renversement du temps et où le dispositif n'est pas positionné dans un champ magnétique. Quand le dispositif est positionné dans un champ il faut changer le signe du champ magnétique dans le membre de droite de l'égalité. Si les opérateurs Al ou Ak changent de signe sous le renversement du sens du temps (par exemple si ce sont deux courants), il faut appliquer le même nombre de changements de signe au membre de droite que d'opérateurs non invariants par renversement du sens du temps (dans le cas de deux courants, on doit appliquer deux changements de signe, par conséquent le signe final ne change pas dans le membre de droite).


Relations de Kramers-Kronig

Le fait que la fonction de corrélation s'annule pour les intervalles de temps négatif est une conséquence de la causalité. En effet, cela veut dire qu'au temps t, la réponse du dispositif ne dépend que des valeurs de la perturbation aux temps t'< t. Cette annulation de la fonction de corrélations au temps négatif implique que sa transformée de Laplace est holomorphe dans le demi-plan supérieur. On peut par conséquent utiliser le théorème de Cauchy pour obtenir une expression de la fonction de réponse pour Im (z) > 0 selon sa valeur sur l'axe réel. On obtient :

 \chi(z)=\frac{1}{2i\pi} \int d\omega' \frac{\chi(\omega')}{z-\omega'} En faisant z\to \omega+i 0 et en utilisant les identités sur les distributions, on obtient les relations de Kramers-Kronig :

 \mathrm{Re}\chi(\omega)=\int \frac{d\omega'}{\pi}  \frac{\mathrm{Im} \chi(\omega')}{\omega-\omega'}  \mathrm{Im}\chi(\omega)=-\int \frac{d\omega'}{\pi}  \frac{\mathrm{Re} \chi(\omega')}{\omega-\omega'}

Règles de somme

Les règles de somme sont des identités satisfaites par les fonctions de réponse de la forme :  \int d\omega \omegaˆn \chi_{lk}(\omega)= C_n

Cn est la valeur moyenne d'un certain opérateur dans l'état d'équilibre. Ces règles de somme sont obtenues en intégrant par partie la formule de transformation de Laplace. L'intégration par partie fait apparaître des dérivées de l'opérateur Al qui peuvent être représentées avec l'équation du mouvement de Heisenberg. On obtient ainsi :  C_n =\langle [H,(H,\ldots,A_l),A_k]\rangle.

Formalisme de Mori-Zwanzig

Le formalisme de Mori-Zwanzig utilise des opérateurs de projection pour obtenir des expressions des fonctions de réponse inverse. A titre d'exemple, le formalisme de Mori-Zwanzig permet d'obtenir une expression pour la résistivité plutôt que la conductivité.

Références

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La version présentée ici à été extraite depuis cette source le 07/04/2010.
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