Théorie ergodique

La théorie ergodique est une branche des mathématiques née de l'étude de l'hypothèse ergodique formulée par le physicien Ludwig Boltzmann en 1871 pour sa théorie cinétique des gaz.



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Théorie ergodique - Physique statistique - Statistiques

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La théorie ergodique est une branche des mathématiques née de l'étude de l'hypothèse ergodique formulée par le physicien Ludwig Boltzmann en 1871 pour sa théorie cinétique des gaz. Elle a connu de nombreux développements en relation étroite avec la théorie des systèmes dynamiques et la théorie du chaos.

Notations

Dynamique discrète

Article détaillé : Système dynamique mesuré.

L'objet d'étude en principe ergodique est un triplet ( (X, B), μ, Φ) où :

\forall \ A \in B \ , \quad (\mu \circ \phiˆ{-1}) (A) \ = \ \mu \left[ \phiˆ{-1} (A)\right] \ = \ \mu(A)


L'application \phi : X \to X génère une dynamique discrète : partant d'un point x_0 \in X, on obtient successivement x1 = φ (x0) , puis x2 = φ (x1) = φ2 (x0) , et ainsi de suite.

Dynamique continue

On peut étendre l'étude au cas d'une dynamique continue en remplaçant l'application \phi : X \to X précédente par un flot sur X, c'est-à-dire un groupe continu à un paramètre \phi_t : X \to X tel que :

\phi_0 \ = \ \mathrm{Id}
\forall \ (t,s) \, \in \, \mathbb{R}ˆ2 \, \quad \phi_t \ \circ \phi_s \ = \ \phi_{t+s}

Ce cas est spécifiquement important dans la mesure où il inclut le flot hamiltonien de la mécanique classique, mais aussi le flot géodésique.

Flot ou «cascade» ?

Le cas continu englobe le cas discret, car on peut toujours construire une application discrète à partir d'un flot continu, en posant par exemple φ = φt = 1 pour l'unité de temps. Poursuivant l'ressemblance avec le vocabulaire de l'hydrodynamique, l'application discrète est tandis quelquefois baptisée «cascade» par certains mathématiciens.

Définition de l'ergodicité

L'application \varphi : X \rightarrow X est dite ergodique pour une mesure donnée si et uniquement si tout ensemble mesurable invariant sous \varphi est de mesure nulle, ou de complémentaire de mesure nulle.


L'ergodicité capture la notion d'irréductibilité en principe de la mesure : pour toute partition d'un dispositif dynamique ergodique en deux sous-systèmes invariants, l'un des deux est trivial ou négligeable, au sens où il vit sur un ensemble de mesure nulle.

Une application satisfaisant cette propriété était jadis aussi dite «métriquement transitive».

Théorème ergodique de Birkhoff

Article connexe : Théorème ergodique#Théorème ergodique de Birkhoff.

Moyenne temporelle & moyenne microcanonique

Soit f une «bonne» fonction sur X. On définit sa valeur moyenne temporelle par la limite (si elle existe)  :

 \overline{f(x_0)} \ = \ \lim_{n \rightarrow + \infty} \ \frac{1}{n} \ \sum_{k=0}ˆ{n-1} \ f \left( \phiˆk (x_0) \right)

Elle dépend a priori de la condition d'origine x0. On peut aussi définir la moyenne spatiale de f, ou moyenne microcanonique, par :

 \langle \ f \ \rangle \ = \ \frac{1}{\mu(X)} \ \int_X f\,d\mu

La moyenne spatiale et la moyenne temporelle n'ont a priori pas de raison d'être identiques.

Théorème de Birkhoff (1931)

Quand l'application φ est ergodique, moyenne spatiale et moyenne temporelle sont égales presque partout. Ce résultat forme le célèbre théorème ergodique de Birkhoff [1].

Temps de séjour moyen

Soit A \subset X un sous-ensemble mesurable de X. On nomme temps de séjour dans A le temps total passé par le dispositif dynamique dans A au cours de son évolution. Une conséquence du théorème ergodique est que le temps de séjour moyen est égal au rapport de la mesure de A par la mesure de X :

 \lim_{n\rightarrow\infty}\ \frac{1}{n} \ \sum_{k=0}ˆ{n-1}  \ \chi_A\left(\phiˆk (x)\right) \ = \ \frac{1}{\mu(X)} \int_X \chi_A \, d\mu \ = \ \frac{\mu(A)}{\mu(X)}

χA est la fonction indicatrice de A.

Récurrences

Théorème de récurrence de Poincaré

Article détaillé : Théorème de récurrence.
\phiˆk(x) \ \in \ A

Temps de récurrence moyen



Une conséquence du théorème ergodique est que la durée moyenne de récurrence de A est inversement proportionnelle à la mesure de A, sous l'hypothèse que la condition d'origine x appartient à A, de telle sorte que k0 = 0.

\lim_{n \to + \infty} \ \frac{1}{n} \ \sum_{i=1}ˆn r_i \ = \ \frac{1}{\mu(A)} 
 \quad\mbox{(presque partout)}

Ainsi, plus la totalité A est «petit» et plus il faut attendre longtemps en moyenne avant d'y retourner. Malheureusement, ce résultat ne nous renseigne pas sur l'écart-type de la distribution des temps de récurrence. A titre d'exemple, pour le modèle des urnes d'Ehrenfest, Kac a pu démontrer[2] que cet écart-type tendait vers l'infini quand le nombre de boules du modèle tendait vers l'infini, de telle sorte que des fluctuations importantes autour de la durée moyenne de récurrence devenaient de moins en moins improbables.

Hiérarchie ergodique

Système mélangeant

On dit que le dispositif (\Omega,\mathcal{F},\mu,T) est mélangeant si quels que soient les événements (ensembles) A et B dans \mathcal{F}, la corrélation

\mu(A\cap Tˆ{-n}(B))-\mu(A)\mu(B) tend vers 0 quand n tend vers l'infini.

Hyperbolicité et dispositif d'Anosov

Article détaillé : Système d'Anosov.

Système de Bernoulli

La hiérarchie ergodique

Exemple : le flot ergodique sur une variété

Théorie ergodique & mécanique statistique

En dépit de progrès importants réalisés en principe ergodique depuis la formulation par Boltzmann de l'hypothèse ergodique, son utilisation pour justifier l'utilisation de la totalité microcanonique en mécanique statistique reste à ce jour controversée [7].

Problèmes ouverts

Le mathématicien Sergiy Kolyada maintient une liste de problèmes ouverts en principe ergodique sur son site web.

Articles liés

Bibliographie

Aspects historiques

Ouvrages modernes

Articles originaux

Bibliothèque virtuelle

Notes

  1. George D. Birkhoff ; Proof of the ergodic theorem, Proceedings of the National Academy of Sciences USA 17 (1931) 656-660.
  2. Mark Kac ; Probability and related topics in physical science, Lectures in Applied Mathematics Series, Vol 1a, American Mathematical Society (1957), ISBN 0-8218-0047-7.
  3. Eberhard Hopf ; Statistik der geodätischen Linien in Mannigfaltigkeiten negativer Krümmung, Leipzig Ber. Verhandl. Sächs. Akad. Wiss. 91 (1939) 261-304.
  4. Sergei V. Fomin & Isræl M. Gelfand ; Geodesic flows on manifolds of constant negative curvature, Uspehi Mat. Nauk 7 no. 1. (1952) 118-137.
  5. F. I. Mautner ; Geodesic flows on symmetric Riemann spaces, Annals of Mathematics 65 (1957) 416-431.
  6. C. C. Moore ; Ergodicity of flows on homogeneous spaces, American Journal of Mathematics 88 (1966) 154-178.
  7. Lire par exemple les articles de revue en physique théorique :
    • George W. Mackey ; Ergodic Theory and its Significance for Statistical Mechanics and Probability Theory, Advances in Mathematics 12 (2) (1974), 178-268.
    • Oliver Penrose ; Foundations of Statistical Mechanics, Report on Progress in Physics 42 (1979), 1937-2006.
    • Domokos Szasz ; Botzmann's ergodic hypothesis, a conjecture for centuries ?, Studia Scientiarium Mathematicarum Hungarica (Budapest ) 31 (1996) 299-322. Texte au format Postscript.
    mais aussi les essais philosophiques :
    • Massimiliano Badino ; The Foundational Role of Ergodic Theory, (2005). Texte au format Word.
    • Jos Uffink ; Compendium of the foundations of classical statistical physics, (2006). Texte au format pdf.

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