Variable antithétique

Les variables antithétiques sont une des techniques de réduction de la variance employées dans la méthode de Monte-Carlo.



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Les variables antithétiques sont une des techniques de réduction de la variance employées dans la méthode de Monte-Carlo. Il s'agit de tirer partie de certaines symétries d'une distribution et de la Corrélation (statistiques) négative entre deux variables aléatoires.

Principe

On souhaite estimer θ = E (h (X) ) . La méthode de Monte-Carlo de base consiste à simuler n variables iid selon la loi de X, disons X_1, X_2, \cdots, X_n, puis à estimer θ par

\hat \theta = \frac{1}{n} \sum_{i=1}ˆn h(X_i).

On peut avoir une idée de l'erreur commise en construisant un intervalle de confiance ; ce dernier nécessite un estimateur de la variance de l'estimateur \sigmaˆ2_{\hat \theta}.

Supposons qu'on dispose de deux échantillons de taille n ; le premier est noté X_1, X_2, \cdots, X_n et le second X'_1, X'_2, \cdots, X'_n. Pour simplifier les notations, on pose m1, m2 les estimateurs empiriques de l'espérance de h (X) sur respectivement l'échantillon 1 et 2. C'est à dire, on aura

m_1 = \frac{h(X_1) + \cdots + h(X_n)}{n}

et

m_2 = \frac{h(X'_1) + \cdots + h(X'_n)}{n}.

L'estimateur Monte-Carlo sur l'échantillon complet est simplement

\hat \theta = \frac{m_1 + m_2}{2}

et, du point de vue de la variance :

\sigmaˆ2_{\hat \theta} = \frac{\sigmaˆ2_{m_1} + \sigmaˆ2_{m_2} + 2 \mathrm{Cov}(m_1, m_2)}{4}.

Dans le cas iid, la covariance s'annule et \sigmaˆ2_{m_1}=\sigmaˆ2_{m_2}, si bien que \sigmaˆ2_{\hat \theta} = \sigmaˆ2_{m_1}/2 : le facteur 2 s'explique car on a doublé la taille de l'échantillon.

La technique de la variable antithétique consiste à choisir l'échantillon 2 semblablement distribué selon la loi de X mais en renonçant à l'indépendance, plus exactement en s'arrangeant pour que Cov (m1, m2) < 0. Il faut par conséquent exploiter les éléments de symétrie de la loi de X pour construire le second échantillon à partir du premier, en s'assurant de la négativité de la covariance. Se faisant, la variance sera inférieure à la variance "normale" \sigmaˆ2_{m_1}/2.

A titre d'exemple, si la loi de X est la loi uniforme sur [0;1], le premier échantillon sera simplement u_1, \cdots, u_n, où pour tout i, ui est tirée selon U (0;1) . On construit le second échantillon u'_1, \cdots, u'_n, en posant pour tout i : u'i = 1 − ui. Si les u1 sont uniformes sur [0;1], alors il en va de même pour les u'i. Qui plus est , la covariance est négative, ce qui sert à diminuer la variance d'origine.

Un autre exemple concerne la loi normale N (μ, s) . En appliquant la transformation x'i = 2μ − xi, où xi˜N (μ, s) , on obtient un tirage dans N (μ, s) , qui est négativement corrélé avec le premier tirage xi

Exemple : estimation d'une intégrale

On souhaite estimer

I = \int_0ˆ1 \frac{1}{1+x} \, \mathrm{d}x.

La valeur exacte est I=\ln 2 \approx 0,69314718055995. Cette intégrale peut se voir comme l'espérance de f (U) , où

f(x) = \frac{1}{1+x}

et U distribuée selon une loi uniforme sur [0;1].

On compare l'estimateur Monte-Carlo classique (échantillon de taille 2n, avec n = 1500, tiré selon la loi uniforme standard) à l'estimateur avec variable antithétique (échantillon de taille n, complété par l'échantillon transformé 1 − ui). La variance se réduit comme suit

Estimation Variance
Méthode classique 0, 69365 0, 02005
Variable antithétique 0, 69399 0, 00063

On constate une très nette réduction de la variance dans le cas de l'utilisation d'une variable antithétique.

Notes et références

Bibliographie

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