Variable de contrôle

Pour la méthode de Monte-Carlo, une variable de contrôle est parfois utilisée afin d'obtenir une réduction de la variance, en exploitant la corrélation entre plusieurs statistiques.



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Pour la méthode de Monte-Carlo, une variable de contrôle est parfois utilisée afin d'obtenir une réduction de la variance, en exploitant la corrélation entre plusieurs statistiques.

Exposé du principe

On cherche à estimer le paramètre μ, et on dispose d'une estimation m non-biaisée de μ ; c'est à dire, \mathbb{E}\left[m\right]=\mu. On dispose d'une autre statistique t, telle que \mathbb{E}\left[t\right]=\tau, et sa corrélation avec m, ρmt, est connue. En supposant connues toutes ces constantes, on peut construire un nouvel estimateur, pour une constante c donnée :

mˆ{\star}=m-c\left(t-\tau\right).

On montre que cet estimateur est un estimateur non-biaisé de μ, quel que soit le choix de la constante c. En outre, on peut montrer que le choix

c=\frac{\sigma_m}{\sigma_t}\rho_{mt}

permet de minimiser la variance \sigmaˆ2_{mˆ{\star}} de mˆ{\star}. Pour ce choix de c, la variance de l'estimateur vaut alors

\sigmaˆ2_{mˆ{\star}} = \left(1-\rho_{mt}ˆ2\right) \sigmaˆ2_{m};

Par construction, la variance de mˆ{\star} sera inférieure à celle de l'estimateur d'origine m, d'où le terme de réduction de variance. Plus la corrélation \vert\rho_{tm}\vert est importante, plus la réduction de la variance sera importante.

Quand les écart-type σm, σt, et/ou la corrélation ρmt sont inconnus, on peut les remplacer par leurs estimations empiriques.

Exemple

On souhaite évaluer

\int_0ˆ1 \frac{1}{1+t} \,\mathrm{d}t

dont la vraie valeur est ln (2) = 0, 69315. Puisque cette intégrale peut être vue comme l'espérance de f (U) , avec U la loi uniforme continue et f (x) = (1 + x) − 1, une estimation de Monte-Carlo est envisageable.

L'estimation classique se base sur un échantillon de n tirages de la loi uniforme u_1, \cdots, u_n et vaut

I_n = \frac{1}{n} \sum_i f(u_i)

On introduit comme variable de contrôle T = 1 + U. Cette variable est uniforme, son espérance vaut 3/2 et sa variance 1/12. Par construction, sa covariance avec U est

1-{3 \over 2} \times \mathrm{E}(m) = -\frac{3\log 2 -2}{2}.

Avec un logicel de calcul formel, on peut continuer à évaluer précisément l'ensemble des autres quantités entrant en jeu dans la méthode ; mais le plus pratique reste de remplacer l'ensemble des moments par leur contrepartie empirique. Avec un échantillon de n = 1500 réplications, on trouve σm = 0, 14195, ρ = − 0, 98430 et σt = 0, 29002. La constante optimale vaut -0, 48175. On trouve les résultats suivants :

Estimation Variance
Monte Carlo basique 0, 69631 0, 02015
Monte Carlo – contrôle 0, 69356 0, 00063

Grâce à la corrélation massivement négative avec la variable de contrôle, on parvient à diminuer particulièrement significativement la variance de l'estimateur de Monte-Carlo.

Notes et références

Bibliographie

Références

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